Ôn thi Đại học: Tìm giá trị nhỏ nhất:

Cho x, y, z >0 và thoả mãn xy +yz +zx=1. Tìm min 9xyz(x+y+z)+\frac{4}{9x^{2}y^{2}z^{2}}.

Lời giải. (buonqua math.vn)

Ta có: P=9xyz(x+y+z)(xy+yz+zx)+\frac{4}{9x^2y^2z^2}.
Theo bất đẳng thức AM-GM ta có:
x+y+z \ge 3\sqrt[3]{xyz}xy+yz+zx \ge 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}.
Suy ra: (x+y+z)(xy+z+zx) \ge 9xyz.
Khi đó:
P \ge 81x^2y^2z^2+\frac{4}{9x^2y^2z^2}=
(81x^2y^2z^2+\frac{1}{9x^2y^2z^2})+\frac{3}{9x^2y^2z^2}
Lại theo AM-GM ta có: 81x^2y^2z^2+\frac{1}{9x^2y^2z^2} \ge 6.
Từ giả thiết ta có: 1=xy+yz+zx \ge 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}. Suy ra: x^2y^2z^2 \le \frac{1}{27}.
Vậy nên: P \ge 6+9=15. Dấu đẳng thức xảy ra khi x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}. \blacksquare

Advertisements

Ôn thi ĐH: Xác định vị trí của mp để hình chóp thể tích nhỏ nhất

Gọi G là trọng tâm của tứ diện SABC(\alpha) là mặt phẳng qua G cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt ở M,N,P. Tìm vị trí của mặt phẳng (\alpha) để khối chóp S.MNP có thể tích nhỏ nhất.

Lời giải.

Tứ diện S.ABC có trọng tâmG

SG cắt mp(ABC) tại O thì O là trọng tâm tam giác ABC suy ra S_{OAB} =S_{OBC}=S_{OAC} nên V_{S.OAB}=V_{S.OBC}=V_{S.OAC} = \frac{1}{3} V_{S.ABC}

Đặt x =\frac{SM}{SA} ; y=\frac{SN}{SB} ; z= \frac{SP}{SC}

Hình chóp S.MNG có các đỉnh tương ứng thuộc các cạnh của hình chóp S.ABO nên

\frac{V_{SMNG}}{V_{SABO}} =\frac{SO}{SG}. \frac{SM}{SA}. \frac{SN}{SB} =\frac{3}{4} xy (do G là trong tâm tứ diện SABC)

Suy ra \frac{V_{SMNG}}{V_{SABC}} =\frac{xy}{4}

Tương tự ta có \frac{V_{SNPG}}{V_{SABC}} =\frac{yz}{4};\frac{V_{SMPG}}{V_{SABC}} =\frac{xz}{4}

\frac{V_{SMNP}}{V_{SABC}} =xyz

nên xyz = \frac{xy+yz+xz}{4}

Áp dụng BDT Cô-si được xy+yz+xz \ge 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2} nên xyz \ge \frac{27}{64}

Suy ra thể tích tứ diện SMNP đạt GTNN bằng  \frac{27}{64} V_{SABC}

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y=z= \frac{3}{4}. Khi đó mặt phẳng (\alpha) qua G song song với mặt phẳng ABC theo định lý Thalets

Hello!

This is my blog, in here, Some problems and notes were saved. Thank you.

Đây là site cá nhân của tôi lưu các bài toán. Xin cảm ơn bạn đã quan tâm.