Ôn thi ĐH: Xác định vị trí của mp để hình chóp thể tích nhỏ nhất

Gọi G là trọng tâm của tứ diện SABC(\alpha) là mặt phẳng qua G cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt ở M,N,P. Tìm vị trí của mặt phẳng (\alpha) để khối chóp S.MNP có thể tích nhỏ nhất.

Lời giải.

Tứ diện S.ABC có trọng tâmG

SG cắt mp(ABC) tại O thì O là trọng tâm tam giác ABC suy ra S_{OAB} =S_{OBC}=S_{OAC} nên V_{S.OAB}=V_{S.OBC}=V_{S.OAC} = \frac{1}{3} V_{S.ABC}

Đặt x =\frac{SM}{SA} ; y=\frac{SN}{SB} ; z= \frac{SP}{SC}

Hình chóp S.MNG có các đỉnh tương ứng thuộc các cạnh của hình chóp S.ABO nên

\frac{V_{SMNG}}{V_{SABO}} =\frac{SO}{SG}. \frac{SM}{SA}. \frac{SN}{SB} =\frac{3}{4} xy (do G là trong tâm tứ diện SABC)

Suy ra \frac{V_{SMNG}}{V_{SABC}} =\frac{xy}{4}

Tương tự ta có \frac{V_{SNPG}}{V_{SABC}} =\frac{yz}{4};\frac{V_{SMPG}}{V_{SABC}} =\frac{xz}{4}

\frac{V_{SMNP}}{V_{SABC}} =xyz

nên xyz = \frac{xy+yz+xz}{4}

Áp dụng BDT Cô-si được xy+yz+xz \ge 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2} nên xyz \ge \frac{27}{64}

Suy ra thể tích tứ diện SMNP đạt GTNN bằng  \frac{27}{64} V_{SABC}

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y=z= \frac{3}{4}. Khi đó mặt phẳng (\alpha) qua G song song với mặt phẳng ABC theo định lý Thalets