Ôn thi Đại học: Tìm giá trị nhỏ nhất:

Cho x, y, z >0 và thoả mãn xy +yz +zx=1. Tìm min 9xyz(x+y+z)+\frac{4}{9x^{2}y^{2}z^{2}}.

Lời giải. (buonqua math.vn)

Ta có: P=9xyz(x+y+z)(xy+yz+zx)+\frac{4}{9x^2y^2z^2}.
Theo bất đẳng thức AM-GM ta có:
x+y+z \ge 3\sqrt[3]{xyz}xy+yz+zx \ge 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}.
Suy ra: (x+y+z)(xy+z+zx) \ge 9xyz.
Khi đó:
P \ge 81x^2y^2z^2+\frac{4}{9x^2y^2z^2}=
(81x^2y^2z^2+\frac{1}{9x^2y^2z^2})+\frac{3}{9x^2y^2z^2}
Lại theo AM-GM ta có: 81x^2y^2z^2+\frac{1}{9x^2y^2z^2} \ge 6.
Từ giả thiết ta có: 1=xy+yz+zx \ge 3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}. Suy ra: x^2y^2z^2 \le \frac{1}{27}.
Vậy nên: P \ge 6+9=15. Dấu đẳng thức xảy ra khi x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}. \blacksquare

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s