Bài tập về cấp số cộng

Khi học cấp số cộng, một số công thức mà các em cần lưu ý và có thể tự xây dựng ngay từ đầu không cần theo SGK, đó là:

u_n = u_1 + (n-1)d (với d là công sai) hay tổng n số hạng đầu của cấp số cộng S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n = \dfrac{n(u_1+u_n)}{2}.

BT:

Bài 1: Cho a, b, c lập thành cấp số cộng. CMR:

  • a2 + 2bc = c2 + 2ab.
  • a2 + 8bc = (2b + c)2.
  • (a2 + ab + b2), (a2 + ac + c2), (b2 + bc + c2) lập thành cấp số cộng.

Bài 2: Cho cấp số cộng (a_n). CMR nếu \dfrac{a_m}{a_n} = \dfrac{m}{n} thì \dfrac{S_m}{S_n} = \dfrac{m(m+1)}{n(n+1)}.

Bài 3: Cho dãy: 2; 4; 7; 8; 12; 12; 17; 16; 22; … Viết tiếp 4 số hạng sau đó của dãy và tính S2n.

Bài 4: Cho cấp số cộng (a_n) thỏa mãn: \begin{cases} a_2 + a_5 - a_3 &= 10\\ a_4 + a_6 &= 26 \end{cases}. Tìm số hạng đầu và công sai.

Bài 5: Cho cấp số cộng (a_n)\begin{cases} a_3 &= -15\\ a_{14} &= 18 \end{cases}. Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên.

Bài tập về phương pháp quy nạp toán học và dãy số

1, Tính tổng 1^3 + 2^3 + \dots + n^3 = \dfrac{n^2(n+1)^2}{4}.

2, Chứng minh rằng n^3 + 11n chia hết 6.

3, Tính tổng 1.2 + 2.3 + \dots + n.(n+1).

4, Tính: u_n = \dfrac{1}{1.2} + \dfrac{1}{2.3} + \dots + \dfrac{1}{n(n+1)}.

5, Xét tính bị chặn của dãy cho ở bài tập 4.

6, Cho dãy số (a_n) xác định bởi a_1 = a_2 = 1, a_n - 2a_{n-1} + a_{n-2} = 2, \forall n \ge 3.

a, Chứng minh công thức a_n - a_{n-1} = 2n - 4.

b, Tìm số hạng tổng quát của dãy.

c, Tính tổng n số hạng đầu của dãy.

Một số bài tập hình học không gian

1, Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. M là một điểm di động trên SC. (P) là một mặt phẳng chứa AM và song song với BD. Cắt SB, SD tại HK.
Chứng Minh Rằng: \dfrac{SB}{SH} + \dfrac{SD}{SK} - \dfrac{SC}{SM} không đổi khi M thay đổi.

2, Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC và tam giác ABD đều và có cạnh là a và  mp (ACD) vuông góc với mp (BCD). Tính thể tích tứ diện.

3, Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B. Gọi M là trung điểm của A'C. H là hình chiếu vuông góc của A lên A'B. Cho A A' = AC = 2a, BC=a.

a/ Chứng minh rằng các điểm A, B, C, M, H cùng nằm trên mặt cầu. Tính thể tích khối cầu đó?
b/ Tính thể tích khối đa diện ABCMH.

4, Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi Ax, By là hai nửa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và nằm về cùng một phía  đối với mặt phẳng (ABCD). Hai điểm MN lần lượt di động trên AxBy sao cho tam giác CMN vuông tại M. Đặt AM = m, BN = n. Chứng minh rằng m( n-m)=a^2 và tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích hình thang ABNM theo a.

5, Tính thể tích khối tứ diện ABCD biết AB = a , AC = b , AD = c , và \hat{BAC} = \hat{CAD} = \hat{DAB} = 60^0.