Một cách chứng minh ngắn cho bất đẳng thức AM-GM

Bất đẳng thức AM-GM được phát biểu như sau:

\dfrac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} \ge \sqrt[n]{a_1a_2\dots a_n} với a_1, a_2, \dots, a_n (*)  là các số thực không âm bất kì.

Còn gọi là bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức AM-GM tổng quát có nhiều cách chưng minh rất độc đáo và ngắn gọn. Đây là một cách chứng minh của Kong-Ming-Chong (Malaysia) (trích báo toán học tuổi trẻ):

Trước hết, đặt T=\dfrac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n}, khi đó bất đẳng thức trên tương đương với T^n\ge a_1a_2\dots a_n.

Nếu a_1=a_2=...=a_n thì (*) trở thành đẳng thức, vì: T^n=T.T\dots T = a_1a_2\dots a_n.

Nếu a_1,a_2,...,a_n không bằng nhau thì phải có bất đẳng thức thực sự:

T^n > a_1a_2...a_n (1).

Ta chứng minh (1) bằng qui nạp.

Dễ thấy (1) đúng với n=2, tức là a_1 \ne a_2 \Rightarrow T^2 = (\dfrac{a_1+a_2}{2})^2>a_1a_2.

Giả sử (1) đúng với n-1 số không bằng nhau tất cả có trung bình cộng là T. Ta phải chứng minh (1) đúng với n.

Thật vậy, trong các số a_1, a_2, ... , a_n không bằng nhau tất cả phải có một số bé hơn T và một số lớn hơn T, giả sử là a_1a_2: a_1 < T < a_2. Do đó ta có (T-a_1)(a_2 - T)>0 hay là a_1 + a_2 - T > \dfrac{a_1a_2}{T} \ge 0. Ta xét n-1 số không âm sau đây: a_3,a_4,...,a_n,(a_1+a_2-T). Dễ thấy n-1 số nói trên không bằng nhau tất cả nên theo giả thiết quy nạp thì: T^{n-1} > a_3a_4...(a_1+a_2-T) > a_3a_4...a_n\dfrac{a_1a_2}{T}.

Vậy T^n > a_1a_2...a_n (đpcm).

Bài tập về tính đạo hàm và viết pt tiếp tuyến.

Một số BT tính đạo hàm:

Bài 1. Tính đạo hàm của một số hàm số sau:

a. y=\dfrac{sinx - cosx}{sinx+cosx}.  b. y=\cos{\sqrt{x^3 + x^2 + x + 1}}.

c. y=\sqrt{\sin{2x}}.   d. y=\sqrt{\dfrac{1 - \sin x}{1+ \sin x}}.

Bài 2.

a. Cho hàm số: y=\dfrac{x-1}{x+1}. CMR: (x^2-1).y' - 2y =0.

b. Cho y=x.\sin{x}. CMR: xy - 2(y'-\sin x)+x.y''=0.

c. Cho y=\dfrac{1}{x-1}. Tính đạo hàm cấp n của hàm số này.

d. Cho y=(x+1)^3. Tính y^{(n)}.

Bài 3.

a. Cho hàm số y=x^3 + 3x^2 + 3. Tìm hai điểm trên đồ thị của hàm số này làm cho y'=0 và viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua hai điểm ấy.

b. Với giá trị nào của m thì đường thẳng y=mx-1 tiếp xúc với đồ thị của hàm số y=4x^3 - 3x.

BT liên quan phiếm hàm Minkowski

ĐN: Cho X là một kg tuyến tính thực. S là một tập con của X. Một điểm x_0 được gọi là điểm trong của S (Hoàng Tụy – điểm bọc) nếu với y bất kì thuộc X, tồn tại \epsilon, phụ thuộc vào y sao cho x_0+ t.y\in S với mọi t, |t|<\epsilon.

Cho tập K lồi và có một điểm trong, ta coi đó là gốc tọa độ. Một gauge của K là một hàm xác định như sau: p_K(x)=\inf{a} với a>0, \dfrac{x}{a}.

Vì gốc là điểm trong cho nên p_K(x)<\infty với mọi x.

BT: Cho tập K lồi. Chứng minh rằng: p_K(x)<1 iff x là một điểm trong của K.

Một số site về giáo dục (1)

Edu-world ***

Education World: Những bài học trực tuyến về mọi lĩnh vực như âm nhạc, nghiên cứu động vật, lịch sử phụ nữ (!), dinh dưỡng..Thư viện online, cách quản lý lớp học, thiết kế trang Web, các ý tưởng…Một kho tàng kinh nghiệm cho các bạn

Educationworld.com

Site dành cho các nhà giáo dục với các liên kết tới hơn 500 000 nguồn tài nguyên khác nhau

Schoolnet** Discover the world of Schoolnet & have fun while learning!

Schoolnet from Canada: Best Educational Web sites with over 7000 learning reources, e-learning, interactive features…

Schoolnet

Schoolnet – Một mạng giáo dục rất đầy đủ: các giải pháp giáo dục, kế hoạch giảng dạy, chương trình học, quản lý giáo dục, thư viện sách…

Studyweb

Phương tiện rất hữu ích để nghiên cứu các trường học

Methode

Hãy nghiên cứu các phương pháp hiệu quả nhất cho việc học tập của bạn. Trường đại học, các ngành học, cộng đồng, khu campus…

K12

Giáo dục K12

Schoolroom.com

A lot of interesting subjects

Eduplace.com

Infos, games, activities for everybody

Technoteen **

Cho lứa tuổi Teen ( Studentcenter ): Cuộc sống muôn màu muôn vẻ của sinh viên, diễn đàn thảo luận và rất nhiều chủ đề khác đang chờ bạn khám phá

T@p online

Trang dành cho các sinh viên: Hỗ trợ học tập, các nguồn liên kết về hỗ trợ tài chính, tìm việc, trung tâm giải trí

Discovery Channel Online ***

Kênh Khám phá nổi tiếng toàn thế giới với mọi lĩnh vực hoạt động: khoa học, vũ trụ, thế giới động vật, địa lý, lịch sử.

National Geographic Online ***

Kiến thức khoa học, địa lý, lịch sử…? Tất cả sẽ trở nên vô cùng sống động với các chuyến thăm ảo, những trò chơi, các hoạt động sáng tạo…

http://www.pbs.org Entertainment, interview transcripts, quizzes, and guides for teachers and students…

PBS Online. Nếu bạn chưa từng thử một kênh truyền hình giáo dục nào, thì tại sao lại không phải là PBS nhỉ?

http://www.review.com**

Princeton Review: Địa chỉ dành cho sinh viên, phụ huynh cũng như  những nhà giáo dục với 3 dịch vụ chính Test Preparation (chuẩn bị cho các kỳ thi chuẩn quốc tế SAT, MCAT, LSAT, và GMAT), Admissions (định hướng nghề nghiệp và chọn ngành học, tư vấn cho bạn)  và K-12 (các nguồn tài nguyên và hướng dẫn cho giáo dục phổ thông). Đây là một trang khá giáo dục khá phổ biến với đối tượng chính là công dân Mỹ 😦

http://www.collegeboard.org**

Thông tin về trường học, học bổng, các kỳ kiểm tra ( kiểu IELST và TOEFL..) và những hướng dẫn để bạn có thể theo học một trường ở nước ngoài

http://www.collegenet.com

Trang web về giáo dục: Chương trình học bổng, nghiên cứu giáo dục, ứng dụng mạng trong giáo dục và rất nhiều tài nguyên giáo dục khác

http://www.petersons.com/ ***

Tìm một trường đại học thích hợp với bạn: chi phí học tập, điều kiện đầu vào, chương trình giảng dạy, bằng cấp và những miêu tả cơ bản. Bạn có thể email để yêu cầu thư xin học các trường đó( Application form )


Giải Abel 2011

http://vietnamnet.vn/vn/giao-duc/16060/giao-su-toan-doat-giai-thuong-1-trieu-usd.html

Giáo sư Toán đoạt giải thưởng 1 triệu USD.

Cập nhật lúc 10/04/2011 06:02:00 AM (GMT+7)

Giải thưởng Abel năm 2011 đã thuộc về giáo sư (GS) John Milnor, hiện công tác tại Viện Các khoa học Toán học, ĐH Stony Brook, NewYork (Hoa Kỳ) cho “những khám phá tiên phong trong tô pô, hình học và đại số”. Giải thưởng này có trị giá gần 1 triệu USD.

Ngày 24/5 sắp tới sẽ có một buổi lễ trang trọng dưới sự chứng kiến của nhiều quan khách và hàng trăm sinh viên, chính thức nhà vua Harald sẽ chính thức trao giải cho giáo sư John Milnor.

Sự kiện này cũng được một số tờ báo khoa học như NewScientist hay Nature đưa tin. Trang nhà Scientific American giật tít “Các mặt cầu exotic đã đưa về giải Abel cho nhà toán học Milnor”.

Giải Abel là một giải thưởng toán học quốc tế của Viện Hàn lâm Khoa học và Văn chương Na Uy thành lập vào năm 2002, lấy tên của nhà toán học thiên tài bạc mệnh của Na Uy, Niels Henrik Abel.

Giải Abel, giải Wolf hay giải Fields đều được xem là “Nobel toán học”, xét về danh tiếng thì giải Abel và Wolf không thua kém gì Fields, mỗi giải đều có một ưu thế nổi trội riêng và tất cả đều là vinh dự rất lớn của các nhà toán học trên thế giới. Cho đến hiện tại thì chỉ có ba nhà toán thống nhất được cả ba danh hiệu “Nobel toán học”.

Khi biết tin, GS Milnor đã nói:

“Giải Abel là một vinh dự lớn nhất mà một nhà toán học có thể đạt được, tôi rất vui vì được nhận phần thưởng này”. Ông còn cười một cách hóm hỉnh: “Tôi cũng hơi bất ngờ về giải thưởng này và ngạc nhiên vì một cú điện thoại lúc 6 giờ sáng”.

Những đóng góp của GS John Milnor

Trong khoảng 60 năm làm khoa học, GS Milnor đã làm nên những điểm nhấn quan trọng trong toán học hiện đại.

Rất nhiều khái niệm, kết quả, giả thiết mang tên ông. Trong các tài liệu toán, ta có thể tìm thấy “các hình cầu exotic Milnor, phân thớ Milnor, số Milnor” và nhiều định lý của Milnor. Những công trình đầy ý nghĩa của Milnor đã đưa ông vượt xa hơn cả những kết quả của chính mình.

GS.JohnMilnor (ảnh:http://www.abelprisen.no)

Ông đã có những ý tưởng rất táo bạo và khám phá rất cơ bản để hình thành nên diện mạo to lớn của toán học vào nửa cuối thế kỉ XX.

Những công trình của ông thể hiện các đặc điểm của một nhà toán học vĩ đại với “những góc nhìn sâu sắc, những ý tưởng sáng chói, những đột phá ấn tượng với một vẻ đẹp rực rỡ” – trích lời Hội đồng xét giải Abel.

GS Timothy Gowers (người đoạt giải thưởng Field năm 1998) được đề cử là người giới thiệu về các thành tựu của GS Milnor,.

Trong bài phát biểu của mình, Gowers đã gọi Milnor là người khổng lồ của toán học hiện đại. Nhiều nhà toán học đã có những công trình tên tuổi và họ cũng đạt nhiều giải thưởng lớn từ những công trình trong chuyên ngành quan tâm của mình.

Nhưng Milnor thật đặc biệt. Ngoài việc chứng minh những định lý ấn tượng của mình, ông còn xây dựng những vấn đề rất cơ bản huộc các chuyên ngành khác nhau như tô pô vi phân, tô pô đại số, K – lý thuyết, lý thuyết nhóm, lý thuyết trò chơi, lý thuyết kì dị, hệ động lực.

GS. Timothy Gowers giới thiệu về các thành tựu của GS Milnor trong lễ công bố giải Abel ngày 23/3/2011.(ảnh: blog.vixra.org)

Công trình đặc sắc nhất đã đưa đến giải thưởng Fields năm 1962 và giờ đây là giải Abel 2011 cho Milnor chính là việc ông đã chứng minh rằng: có nhiều cấu trúc khả vi khác nhau cùng tồn tại trên mặt cầu 7- chiều. Để làm điều này, ông đã đưa ra một lớp mặt cầu kì lạ như tên gọi của nó, đó là các mặt cầu “exotic”. Nhiều nhà toán học đã không thể hiểu nổi tại sao ông lại nghĩ ra được những mặt cầu kì lạ này.

Chân dung nhà toán học Abel.

Bài toán này còn liên quan mật thiết đến giả thuyết Poincaré, được Perelman kết thúc chứng minh vào 2003. Thành công vĩ đại này của ông được công bố vào năm 1956 trên Annals of Mathematics (một trong những tạp chí toán học uy tín nhất), khi đó ông mới 25 tuổi. Công trình này mở ra một hướng nghiên cứu lớn cho một chuyên ngành non trẻ vào thời điểm ấy, đó là tô-pô vi phân.

GS Stephen Smale (giải thưởng Fields năm 1966) nói về thành tựu này: “Đối với tôi, những khám phá của Milnor về các mặt cầu exotic thật là quan trọng để thiết lập cơ sở của tô pô học. Nó giúp ta tiến gần hơn đến sự hiểu biết về vai trò của những cấu trúc khác nhau của lĩnh vực.

Điều này có một vai trò rất lớn trong những công trình của tôi về chứng minh giả thuyết Poincaré cho số chiều lớn hơn 4”.

Giờ đây, ở tuổi cổ lai hy, ông vẫn còn nghiên cứu và viết sách. “Ông là một nguồn kích thích trí tuệ cho rất rất nhiều các nhà toán học” – GS Gowers nói.

Milnor cũng là một nhà sư phạm tuyệt vời vì là tác giả của nhiều quyển sách có ảnh hưởng to lớn và được coi là kinh điển hay mẫu mực trong các sách chuyên ngành của toán học.

Chẳng hạn, cuốn “Lý thuyết Morse” của ông được coi là một quyển sách quan trọng nhất về môn học này trong hơn 40 năm từ khi ra đời. Quyển: “Tô pô từ quan điểm vi phân” được nhiều độc giả đánh giá là “một cuốn sách toán hay nhất từng được viết”, hay quyển “các điểm kì dị của các siêu mặt phức” đã được rất nhiều nhà toán học trích dẫn.

Các giải thưởng GS Milnor đã từng nhận

Vật kỷ niệm của Viện Hàn lâm NaUy trao cùng giải Abel.(ảnh:http://www.abelprisen.no

Sinh ngày 20/02/1931 tại Orange, New Jersey, Hoa Kỳ, Milnor từng học ở trường ĐH Princeton và nhận bằng cử nhân năm 1951. Sau khi tốt nghiệp ông được giữ lại trường nghiên cứu và giảng dạy tại khoa toán ĐH Princeton.

Năm 1954, ông nhận học vị tiến sỹ cũng tại đại học danh tiếng này.

GS Milnor đã từng nhận rất nhiều giải thưởng trong sự nghiệp khoa học của mình: đó là giải thưởng Fields năm 1962 khi mới 31 tuổi. Gần đây là giải Leroy P. Steel 2011 được trao cho những thành tựu trọn đời của Hội toán học Mỹ.

Ngoài ra, ông đã từng nhận hai giải Steel khác nhau của Hội Toán học Mỹ: Mathematical Exposition (cho những tác phẩm toán học 2004) và Seminal Contribution to Research (xây dựng mở đầu cho nghiên cứu 1982).

Trước đó, năm 1989, Milnor đã được trao giải Wolf (được coi là danh giá chỉ sau giải Fields).

GS Milnor đã từng nhận Huy chương khoa học quốc gia Hoa Kỳ và là Viện sĩ của các viện lớn như Viện Hàn lâm khoa học Nga (1994) và Viện khoa học, nghệ thuật và văn chương châu Âu.

Giải AbelNgười được giải sẽ được nhận một khoản tiền thưởng là 6.000.000 Krone của Na Uy (tương đương 750.000 Euro hay 1 triệu USD) và một hình hộp pha lê kỷ niệm, trên đó in biểu tượng của giải Abel. Giải lập ra không chỉ để trao giải thưởng cho những người có công trình toán học to lớn mà còn  nhằm nâng cao vị thế của toán học trong xã hội và thu hút sự quan tâm của giới trẻ tới toán học nhiều hơn.Theo điều lệ, hàng năm, Viện Hàn lâm Khoa học và Văn chương Na Uy công bố chủ nhân giải Abel sau cuộc tuyển chọn do một hội đồng gồm 5 nhà Toán học quốc tế tiến hành.

Ngân quỹ ban đầu để trao giải do chính phủ Na Uy cấp vào năm 2001 là 200 triệu Krone (khoảng 23 triệu USD). Lẽ ra giải Abel đã ra đời từ đầu thế kỉ XX nhân kỉ niệm 100 năm ngày sinh Abel.

Một số nhà toán học đã phác thảo luật lệ và quy định cho giải, thế nhưng vì lý do chính trị của liên bang Thụy Điển – NaUy để rồi phải đến gần 100 năm sau, giải mới được trao lần đầu tiên vào năm 2003.

Tính đến nay, sau 9 năm giải Abel được vận hành, đã có 10 nhà Toán học được trao giải, kể cả GS Milnor là 11, trong đó có 6 người Mỹ (2 người Mỹ gốc Hungary và Ấn Độ), 1 người Anh, 1 người Thụy Điển và 3 người Pháp (có 2 người gốc Nga và Bỉ).

Trong số 11 nhà Toán học đoạt giải Abel, đã có 4 người trước đó từng đoạt Huy chương Fields (Jean-Pierre Serre – 2003, Michael F. Atiyah – 2004, John G. Thompson – 2008, John Milnor – 2011) và 8 người từng nhận giải Wolf (Jean-Pierre Serre, Peter D. Lax, Lennart Carleson, John G. Thompson, Jacques Tits, Mikhail Gromov, John Tate, John Milnor).

Cho đến hiện tại thì chỉ có ba nhà toán thống nhất được cả ba danh hiệu “Nobel toán học” đó là Jean- Pierre Serre và John G. Thompson và John Milnor.

Hiệu trưởng Trường ĐH Stony Brook, ông Samuel Stanley đã rất hồ hởi về thông tin GS Milnor được giải Abel: “Thật là tuyệt vời vì điều này khẳng định năng lực của các nhà toán học ở Stony Brook, vì từ đó sẽ sản sinh những sản phẩm học thuật ở đẳng cấp cao. Chúng tôi tự hào về GS Milnor và những đồng nghiệp của ông”.

Bài tập về các tính chất của đạo hàm.

Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a. y = \dfrac{x^2 - x + 1}{x-1}.

b. y = \dfrac{1+x}{\sqrt{x-1}}.

c. y= \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}.

d. y = \tan(\cos^2 x - \sin^2 x).

Bài 2. Cho f(x) = \sin x + \dfrac{1}{3}\sin{3x} - \dfrac{2}{5}\sin{5x}. Giải pt: f'(x) = 0. (Đề Đại học ngoại giao – 2000).

Bài 3. Tính đạo hàm của:

a. y = (x+1)^2(x+2)^2(x+3).

b. y = \dfrac{x^2 + 2x + 2}{x+1}.

c. y = \sqrt{\dfrac{x+1}{x}}.

Bài 4. Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị các hàm số:

a. y = \dfrac{x-1}{x+1} tại điểm có hoành độ là 0.

b. y = \sqrt{x+1} tại điểm có hoành độ là 1.