Tính tích phân suy rộng $latex \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx$

Tính tích phân suy rộng \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx:

Để tính tích phân suy rộng này, ta lại đi tính tích phân sau: \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(x^2+y^2)} dxdy. Chú ý là \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(x^2+y^2)} dxdy = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx \cdot \int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-y^2}dy hay = (\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx)^2 (1)

Trước hết, ta tính tích phân \int\limits_{B_R}\int e^{-(x^2+y^2)} dxdy với B_R = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | x^2 + y^2 \le R^2\}.

Đổi biến theo tọa độ cực tích phân trên: x = r\cos\varphi, y = r\sin\varphi, khi đó miền tính tích phân là B_R = \{(r,\varphi) | 0 \le r \le R, 0 \le \varphi \le 2\pi\}, và Jacobian Jac = r, từ đó có:

\int\limits_{B_R}\int e^{-(x^2+y^2)} dxdy = \int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi\int\limits_{0}^{R}r.e^{-r^2}dr = \pi(1 - e^{-R^2}).

Do đó \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(x^2+y^2)} dxdy = \lim_{R \to \infty}\int\limits_{B_R}\int e^{-(x^2+y^2)} dxdy

= \lim_{R \to \infty}\pi(1 - e^{-R^2}) = \pi.(2)

Từ (1) và (2) suy ra:  \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}

An exercise of Mayer-Vietories sequence in Hatcher

BT 2.2.31 Hatcher. Dùng dãy Mayer-Vietories để chứng tỏ rằng có một đẳng cấu \widetilde{H}_n(X \vee Y) = \widetilde{H}_n(X) \oplus \widetilde{H}_n(Y) nếu các điểm cơ sở (base points) của XY được đồng nhất trong X \vee Y là co rút biến dạng của các lân cận U \subset XV\subset Y.

—–

Để sử dụng dãy Mayer-Vietories, ta phải tìm đc 2 tập mở AB để X \vee Y = A \cup B. Thật vậy, chọn A = X \vee VY \vee U. 2 tập đều mở nên X \vee Y = int(A) \cup int(B). Mặt khác, A \cap B = U \cap V, theo giả thiết, điểm nối giữa XY là co rút biến dạng của UV, nên khi đồng nhất 2 điểm của x \in Uy \in V thì ta có thể coi x \equiv y là co rút biến dạng của U \cap V. Do đó U \cap V \simeq \{x\}\widetilde{H}_n(U \cap V) = \widetilde{H}_n(point).

Áp dụng dãy Mayer-Vietories thu gọn với AB như trên, ta có dãy khớp dài sau:

... \rightarrow \widetilde{H}_n(A \cap B) \rightarrow \widetilde{H}_n(A) \oplus \widetilde{H}_n(B) \rightarrow \widetilde{H}_n(X \vee Y) \xrightarrow{\partial} \widetilde{H}_{n - 1}(A \cap B) \rightarrow ...\rightarrow \widetilde{H}_0(X \vee Y) \rightarrow 0

Vì đồng điều của A \cap B là đồng điều một điểm nên ta có:

...\rightarrow 0 \rightarrow \widetilde{H}_n(A) \oplus \widetilde{H}_n(B) \rightarrow \widetilde{H}_n(X \vee Y) \xrightarrow{\partial} 0 \rightarrow ...\rightarrow 0 \rightarrow 0

Từ đó ta có: \widetilde{H}_n(X \vee Y) = \widetilde{H}_n(A) \oplus \widetilde{H}_n(B), và vì A \simeq X, B \simeq Y nên \widetilde{H}_n(A) = \widetilde{H}_n(X), \widetilde{H}_n(B) = \widetilde{H}_n(Y). Do đó, ta được đẳng cấu:

\widetilde{H}_n(X \vee Y) = \widetilde{H}_n(X) \oplus \widetilde{H}_n(Y) (đpcm).

Đổi biến trong tích phân hàm nhiều biến

Đổi biến trong tính tích phân xác định hàm một biến:

Công thức như sau:

Giả sử \varphi(t) là hàm liên tục trên [\alpha,\beta]\varphi(\alpha) = a, \varphi(\beta) = b\varphi có đạo hàm liên tục \varphi'(t) trên đoạn [\alpha,\beta].

Chứng minh

Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(t) trong [a,b], tức là F'(x) = f(x). Đặt \Phi(t) = F(\varphi(t)) khi đó \Phi'(t) = (F\circ\varphi)'(t) = F'[\varphi(t)].\varphi'(t) = f[\varphi(t)].\varphi'(t). Do đó \Phi(t) là nguyên hàm của f[\varphi(t)].\varphi'(t). Suy ra:

\int_{\alpha}^{\beta}f[\varphi(t)]\varphi'(t)dt = \Phi(\beta) - \Phi(\alpha) = F(\varphi(\beta)) - F(\varphi(\alpha))

= F(b) - F(a) = \int_{a}^{b}f(x)dx.

Đối biến trong tính tích phân xác định hàm nhiều biến:

Xét phép đổi biến sau: (v_1, \dots , v_n) = \varphi(u_1, \dots , u_n), với \varphi là ánh xạ 1-1 và khả vi liên tục. Khi đó, vi phân của chúng là:

dv_1\cdots dv_n = |\det({D}_\varphi)(u_1, \ldots, u_n)| \, du_1\cdots du_n

Định lý đổi biến tích phân: Lấy U, V là các tập mở trong \mathbb{R}^n\varphi : U \to V ánh xạ đơn ánh, khả vi với các đạo hàm riêng liên tục, Jacobian khác 0 tại mọi x \in U. Khi đó với mọi hàm thực có giá compact, liên tục với giá chứa trong \varphi(U) thì

\int_{\varphi(U)} f(\mathbf{v})\, d \mathbf{v} = \int_U f(\varphi(\mathbf{u})) \left|\det({D}_\varphi)(\mathbf{u})\right| \,d \mathbf{u}.

Viết rõ ra: \int\limits_{\varphi(U)} f(\mathbf{v})dv_1\cdots dv_n = \int\limits_U f(\varphi(\mathbf{u})) |\det({D}_\varphi)(\mathbf{u})|du_1 \dots du_n.

Nullstellensatz in the real case

In alegebraic geometry, we have Hilbert Nullstellensatz and in real algebraic geometry we have Real Nullstelllensatz. There is a difference between these theorems.

Strong Hilbert Nullstellensatz: I(V_{\mathbb{C}}(I)) = \sqrt{I}.

If polynomial f is vanish on the set \begin{cases}f_1 &= 0 \\ &\dots \\ f_k &= 0\end{cases} (in \mathbb{C}^n ) then f has  the following form:

f \in\sqrt{I} , that is: \exists m \in \mathbb{N}: f^m = g_1f_1 + \dots + g_kf_k với g_j \in \mathbb{R}[X_1, \dots,X_n].

In the case of \mathbb{R}^n

Real Nullstellensatz: I(V_{\mathbb{R}}(I)) = \sqrt[\mathbb{R}]{I}.

V_{\mathbb{C}}(I) \cap \mathbb{R}^n = V_{\mathbb{R}}(I):

f^{2s} \in -(\sum \mathbb{R}[X]^2 + I)  or f^{2s} + \sum_{j =1}^m p_j^2 = h_1f_1 + \dots + h_kf_k .

Tập lồi

Tập lồi: Là một trường hợp riêng của tập affine và là trường hợp chính trong giải tích lồi, tập lồi là những tập hợp con của \mathbb{R}^n thỏa mãn: \forall x, y \in C thì (1-\lambda)x + \lambda y \in C, 0 \le \lambda \le 1.

Ellipsoid và lập phương là những tập lồi nhưng ko phải là tập affine.

Nửa không gian: Có 4 kiểu tương ứng với 4 dấu:

Đây là một kiểu \{x | \langle x, b \rangle < \beta\}.

Ta có thể thay một nửa kg như thế bằng \lambda b\lambda\beta. Từ đó thấy là những tập hợp này phụ thuộc vào siêu phẳng H = \{x | \langle x,b \rangle = \beta \}.

Có thể nói một cách (ko rõ ràng) là cho một nửa không gian mở hoặc đóng cũng chính là cho một siêu phẳng tương ứng.

Tập lồi đa diện: Một tập hợp mà có thể phân tích thành giao hữu hạn các nửa không gian đóng của \mathbb{R}^n thì đgl tập lồi đa diện (polyhedra).

Tổ hợp lồi: Cho m điểm x_1, ..., x_m. Tổ hợp lồi của m điểm này là tập \lambda_1 x_1 + ... + \lambda_m x_m trong đó \lambda_1 + ... + \lambda_m = 1\lambda_i \ge 0.

Đặc trưng cho tập lồi:

ĐL: Tập C là lồi nếu và chỉ nếu C chứa tất cả các tổ hợp tuyến tính của các phần tử thuộc nó.

Proof.

Giá sử C = \{\lambda_1 x_1 + ... + \lambda_m x_m , \sum \lambda_i =1, x_i \in C, \lambda_i \ge 0 \}. Ta cm đây là một tập lồi.

Thật vậy, với x, y \in C. Ta có x = \sum\alpha_i x_i, y = \sum\beta_j y_j. Như trên, chỉ cần đánh số lại thì ta có được tổ hợp \sum\alpha_k x_k với$x_1,…, x_m$ như cũ và x_{k+1} = y_1, ..., x_{k+s} = y_s. Phần tử như thế thuộc vào C\sum(1-\lambda)\alpha_i + \sum\lambda\beta_j = (1 - \lambda)\sum\alpha_i + \lambda\sum\beta_j = (1 - \lambda) + \lambda = 1.

Còn lại chỉ cần cm nếu C lồi thì C sẽ chứa các tổ hợp tuyến tính của các phần tử thuộc nó. Thật vậy, ta sẽ chứng minh \sum_1^m\lambda_i x_i \in C với mọi m bằng qui nạp.

Với m = 2 thì hiển nhiên là (1 - \lambda)x + \lambda y \in C. Ta giả sử điều trên đúng với m-1. Xét phần tử x = \lambda_1 x_1 + \dots + \lambda_m x_m. và phần tử y = \lambda'_1 x_2 + \dots + \lambda'_m x_m với \lambda'_i = \dfrac{\lambda_i}{1 - \lambda_1}, i = 2, \dots, m (giả sử \lambda_1 \ne 1 nếu không thì thay nó bằng \lambda_j khác không bằng 1).

Dễ thấy \sum_2^m \dfrac{\lambda'_i}{1 - \lambda_1} = 1 cho nên từ giả thiết qui nạp y \in C. Từ đó x = (1 - \lambda_1)y + \lambda_1 x_1 \in C (đpcm).

Weak Nullstellensatz

In algebraic geometry, one of  the fundamental theorems is Hilbert’s Nullstellensatz.

Weak version:

Weak Hilbert’s Nullstellensatz: If k is algebraic closed field then the maximal ideals of k[x_1, \dots, x_n] are exactly of the form (x_1 - a_1, \dots, x_n -a_n) for some a_i \in k.

Some cases:

If k = \mathbb{C}, a system of polynomials equation have a root ’cause V(I) \ne \emptyset.

If k = \mathbb{R}, there exists an ideal I \ne (x_1 - a_1, \dots, x_n -a_n) such that V(I) = \emptyset.

Another version:
\begin{theorem} Ideal I \subseteq k[X_1, \dots, X_n] with k is algebraic closed. Then V(I) = \emptyset implies I = k[X_1, \dots,X_n].
\end{theorem}

Moreover, k = \mathbb{C}, if we have a system of polynomials equation (f_1 = 0, f_2 = 0, \dots, f_k = 0),  if this one have no root then there exist g_1, \dots, g_k \in \mathbb{C}[X_1,\dots,X_n]

s.t. f_1(X)g_1(X) + f_2(X)g_2(X) + \dots + f_k(X)g_k(X) = 1.

For example (Parrilo): Consider following polynomials over \mathbb{C}:

f_1(x) = x^2 + y^2 - 1 =0,

f_2(x) = x + y = 0,

f_3(x) = 2x^3 + y^3 +1 = 0.

There exist:

g_1(x) = \frac{1}{7}(1 - 16x - 12y - 18xy - 6y^2),

g_2(x) = \frac{1}{7}(-7y - x +4y^2 - 16 + 12xy + 2y^3 + 6y^2x),

g_3(x) = \frac{1}{7}(8 + 4y)

s.t. f_1g_1 + f_2g_2 + f_3g_3 = 1.