Tập lồi

Tập lồi: Là một trường hợp riêng của tập affine và là trường hợp chính trong giải tích lồi, tập lồi là những tập hợp con của \mathbb{R}^n thỏa mãn: \forall x, y \in C thì (1-\lambda)x + \lambda y \in C, 0 \le \lambda \le 1.

Ellipsoid và lập phương là những tập lồi nhưng ko phải là tập affine.

Nửa không gian: Có 4 kiểu tương ứng với 4 dấu:

Đây là một kiểu \{x | \langle x, b \rangle < \beta\}.

Ta có thể thay một nửa kg như thế bằng \lambda b\lambda\beta. Từ đó thấy là những tập hợp này phụ thuộc vào siêu phẳng H = \{x | \langle x,b \rangle = \beta \}.

Có thể nói một cách (ko rõ ràng) là cho một nửa không gian mở hoặc đóng cũng chính là cho một siêu phẳng tương ứng.

Tập lồi đa diện: Một tập hợp mà có thể phân tích thành giao hữu hạn các nửa không gian đóng của \mathbb{R}^n thì đgl tập lồi đa diện (polyhedra).

Tổ hợp lồi: Cho m điểm x_1, ..., x_m. Tổ hợp lồi của m điểm này là tập \lambda_1 x_1 + ... + \lambda_m x_m trong đó \lambda_1 + ... + \lambda_m = 1\lambda_i \ge 0.

Đặc trưng cho tập lồi:

ĐL: Tập C là lồi nếu và chỉ nếu C chứa tất cả các tổ hợp tuyến tính của các phần tử thuộc nó.

Proof.

Giá sử C = \{\lambda_1 x_1 + ... + \lambda_m x_m , \sum \lambda_i =1, x_i \in C, \lambda_i \ge 0 \}. Ta cm đây là một tập lồi.

Thật vậy, với x, y \in C. Ta có x = \sum\alpha_i x_i, y = \sum\beta_j y_j. Như trên, chỉ cần đánh số lại thì ta có được tổ hợp \sum\alpha_k x_k với$x_1,…, x_m$ như cũ và x_{k+1} = y_1, ..., x_{k+s} = y_s. Phần tử như thế thuộc vào C\sum(1-\lambda)\alpha_i + \sum\lambda\beta_j = (1 - \lambda)\sum\alpha_i + \lambda\sum\beta_j = (1 - \lambda) + \lambda = 1.

Còn lại chỉ cần cm nếu C lồi thì C sẽ chứa các tổ hợp tuyến tính của các phần tử thuộc nó. Thật vậy, ta sẽ chứng minh \sum_1^m\lambda_i x_i \in C với mọi m bằng qui nạp.

Với m = 2 thì hiển nhiên là (1 - \lambda)x + \lambda y \in C. Ta giả sử điều trên đúng với m-1. Xét phần tử x = \lambda_1 x_1 + \dots + \lambda_m x_m. và phần tử y = \lambda'_1 x_2 + \dots + \lambda'_m x_m với \lambda'_i = \dfrac{\lambda_i}{1 - \lambda_1}, i = 2, \dots, m (giả sử \lambda_1 \ne 1 nếu không thì thay nó bằng \lambda_j khác không bằng 1).

Dễ thấy \sum_2^m \dfrac{\lambda'_i}{1 - \lambda_1} = 1 cho nên từ giả thiết qui nạp y \in C. Từ đó x = (1 - \lambda_1)y + \lambda_1 x_1 \in C (đpcm).

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s