Posted in Geometric topology, Learning

An exercise of Mayer-Vietories sequence in Hatcher

BT 2.2.31 Hatcher. Dùng dãy Mayer-Vietories để chứng tỏ rằng có một đẳng cấu \widetilde{H}_n(X \vee Y) = \widetilde{H}_n(X) \oplus \widetilde{H}_n(Y) nếu các điểm cơ sở (base points) của XY được đồng nhất trong X \vee Y là co rút biến dạng của các lân cận U \subset XV\subset Y.

—–

Để sử dụng dãy Mayer-Vietories, ta phải tìm đc 2 tập mở AB để X \vee Y = A \cup B. Thật vậy, chọn A = X \vee VY \vee U. 2 tập đều mở nên X \vee Y = int(A) \cup int(B). Mặt khác, A \cap B = U \cap V, theo giả thiết, điểm nối giữa XY là co rút biến dạng của UV, nên khi đồng nhất 2 điểm của x \in Uy \in V thì ta có thể coi x \equiv y là co rút biến dạng của U \cap V. Do đó U \cap V \simeq \{x\}\widetilde{H}_n(U \cap V) = \widetilde{H}_n(point).

Áp dụng dãy Mayer-Vietories thu gọn với AB như trên, ta có dãy khớp dài sau:

... \rightarrow \widetilde{H}_n(A \cap B) \rightarrow \widetilde{H}_n(A) \oplus \widetilde{H}_n(B) \rightarrow \widetilde{H}_n(X \vee Y) \xrightarrow{\partial} \widetilde{H}_{n - 1}(A \cap B) \rightarrow ...\rightarrow \widetilde{H}_0(X \vee Y) \rightarrow 0

Vì đồng điều của A \cap B là đồng điều một điểm nên ta có:

...\rightarrow 0 \rightarrow \widetilde{H}_n(A) \oplus \widetilde{H}_n(B) \rightarrow \widetilde{H}_n(X \vee Y) \xrightarrow{\partial} 0 \rightarrow ...\rightarrow 0 \rightarrow 0

Từ đó ta có: \widetilde{H}_n(X \vee Y) = \widetilde{H}_n(A) \oplus \widetilde{H}_n(B), và vì A \simeq X, B \simeq Y nên \widetilde{H}_n(A) = \widetilde{H}_n(X), \widetilde{H}_n(B) = \widetilde{H}_n(Y). Do đó, ta được đẳng cấu:

\widetilde{H}_n(X \vee Y) = \widetilde{H}_n(X) \oplus \widetilde{H}_n(Y) (đpcm).

Posted in Analysis and Optimization, Calculus

Đổi biến trong tích phân hàm nhiều biến

Đổi biến trong tính tích phân xác định hàm một biến:

Công thức như sau:

Giả sử \varphi(t) là hàm liên tục trên [\alpha,\beta]\varphi(\alpha) = a, \varphi(\beta) = b\varphi có đạo hàm liên tục \varphi'(t) trên đoạn [\alpha,\beta].

Chứng minh

Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(t) trong [a,b], tức là F'(x) = f(x). Đặt \Phi(t) = F(\varphi(t)) khi đó \Phi'(t) = (F\circ\varphi)'(t) = F'[\varphi(t)].\varphi'(t) = f[\varphi(t)].\varphi'(t). Do đó \Phi(t) là nguyên hàm của f[\varphi(t)].\varphi'(t). Suy ra:

\int_{\alpha}^{\beta}f[\varphi(t)]\varphi'(t)dt = \Phi(\beta) - \Phi(\alpha) = F(\varphi(\beta)) - F(\varphi(\alpha))

= F(b) - F(a) = \int_{a}^{b}f(x)dx.

Đối biến trong tính tích phân xác định hàm nhiều biến:

Xét phép đổi biến sau: (v_1, \dots , v_n) = \varphi(u_1, \dots , u_n), với \varphi là ánh xạ 1-1 và khả vi liên tục. Khi đó, vi phân của chúng là:

dv_1\cdots dv_n = |\det({D}_\varphi)(u_1, \ldots, u_n)| \, du_1\cdots du_n

Định lý đổi biến tích phân: Lấy U, V là các tập mở trong \mathbb{R}^n\varphi : U \to V ánh xạ đơn ánh, khả vi với các đạo hàm riêng liên tục, Jacobian khác 0 tại mọi x \in U. Khi đó với mọi hàm thực có giá compact, liên tục với giá chứa trong \varphi(U) thì

\int_{\varphi(U)} f(\mathbf{v})\, d \mathbf{v} = \int_U f(\varphi(\mathbf{u})) \left|\det({D}_\varphi)(\mathbf{u})\right| \,d \mathbf{u}.

Viết rõ ra: \int\limits_{\varphi(U)} f(\mathbf{v})dv_1\cdots dv_n = \int\limits_U f(\varphi(\mathbf{u})) |\det({D}_\varphi)(\mathbf{u})|du_1 \dots du_n.

Posted in Algebraic Geometry, Learning

Nullstellensatz in the real case

In alegebraic geometry, we have Hilbert Nullstellensatz and in real algebraic geometry we have Real Nullstelllensatz. There is a difference between these theorems.

Strong Hilbert Nullstellensatz: I(V_{\mathbb{C}}(I)) = \sqrt{I}.

If polynomial f is vanish on the set \begin{cases}f_1 &= 0 \\ &\dots \\ f_k &= 0\end{cases} (in \mathbb{C}^n ) then f has  the following form:

f \in\sqrt{I} , that is: \exists m \in \mathbb{N}: f^m = g_1f_1 + \dots + g_kf_k với g_j \in \mathbb{R}[X_1, \dots,X_n].

In the case of \mathbb{R}^n

Real Nullstellensatz: I(V_{\mathbb{R}}(I)) = \sqrt[\mathbb{R}]{I}.

V_{\mathbb{C}}(I) \cap \mathbb{R}^n = V_{\mathbb{R}}(I):

f^{2s} \in -(\sum \mathbb{R}[X]^2 + I)  or f^{2s} + \sum_{j =1}^m p_j^2 = h_1f_1 + \dots + h_kf_k .