BT về tổng trực tiếp

Bài toán. Cho tập W=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3| x + y + z = 0\}.

  1. Chứng minh rằng W là một không gian con của KGVT \mathbb{R}^3.
  2. Tìm một không gian vector con U của \mathbb{R}^3 sao cho \mathbb{R}^3 là tổng trực tiếp của WU.
Advertisements

3 thoughts on “BT về tổng trực tiếp

  1. ^^
    \[{\rm{W = }}\left\{ {\left( {x,y,z} \right) \in {^3}|x + y + z = 0} \right\} = \left\{ {w = \left( {x,y, – x – y} \right) \in {^3}|x,y \in } \right\}\]
    \[\forall {w_1},{w_2} \in W\] và \[\forall k \in \]
    Ta có: \[{w_1} = ({x_1},{y_1}, – {x_1} – {y_1})\] \[{w_2} = ({x_2},{y_2}, – {x_2} – {y_2})\]
    \[\begin{array}{l}
    1.{w_1} + {w_2} = ({x_1} + {x_2},{y_1} + {y_2}, – ({x_1} + {x_2}) – ({y_1} + {y_2}))\\
    \Rightarrow ({w_1} + {w_2}) \in {\rm{W}}
    \end{array}\]
    2.\[\begin{array}{l}
    k{w_1} = (k{x_1},k{y_1}, – k{x_1} – k{y_1})\\
    \Rightarrow k{w_1} \in {\rm{W}}
    \end{array}\]
    Từ (1) và (2) thì W là không gian con của KGVT \[{^3}\]

    \[{^3}\] là tổng trực tiếp của W và U khi và chỉ khi \[\dim ({\rm{W}} + U) = \dim ({\rm{W}} \oplus U) = 3\] và \[\dim ({\rm{W}} \cap U) = 0\]
    Mặt khác, dễ thấy dim(W)=2. Nên dim(U)=1, và vectơ cơ sở của U phải độc lập tuyến tính với các vectơ cơ sở của W.
    Hay: \[\forall u \in U\] có dạng (a,b,c) thì không tồn tại \[\alpha ,\beta \] sao cho: \[u = \alpha {v_1} + \beta {v_2}\]
    Với: \[\left\{ {{v_1},{v_2}} \right\} = \left\{ {(1,0, – 1),(0,1, – 1)} \right\}\] là một cơ sở của W.
    Tóm lại \[U = \left\{ {(x,y,z) \in {^3}|z \ne – x – y} \right\}\].
    Bla bla,…^^

  2. @@ em đánh sai rồi @@
    \displaystyle \begin{array}{l}\text{W}=\left\{ {(x,y,z)\in {{\mathbb{R}}^{3}}|x+y+z=0} \right\}=\left\{ {(x,y,-x-y)\in {{\mathbb{R}}^{3}}} \right\}\\\forall {{\text{w}}_{1}},{{\text{w}}_{2}}\in \text{W; }\forall \text{k}\in \mathbb{R}\\\text{1}\text{.}{{\text{w}}_{1}}+{{\text{w}}_{2}}=({{x}_{1}}+{{x}_{2}},{{y}_{1}}+{{y}_{2}},-({{x}_{1}}+{{x}_{2}})-({{y}_{1}}+{{y}_{2}}))\\\Rightarrow ({{\text{w}}_{1}}+{{\text{w}}_{2}})\in \text{W}\\\text{2}\text{.k}{{\text{w}}_{1}}=(k{{x}_{1}},k{{y}_{1}},-k{{x}_{1}}-k{{x}_{2}})\\\Rightarrow k{{w}_{1}}\in \text{W}\end{array}
    Vậy W là KGC.
    U là không gian con của R3, có số chiều là 1, cơ sở của nó độc lập tuyến tính với 2 cơ sở của W,
    Hay ví dụ như \displaystyle U=\left\{ {(x,y,z)\in {{\mathbb{R}}^{3}}|z\ne -x-y} \right\}
    ^^

    1. Vinh làm đúng rồi. Chỉ cần chọn một vec tơ không thuộc mặt phẳng trên, rồi cho nó span ra không gian con. Đó chính là không gian con cần tìm. Tuy nhiên, cần chứng minh??

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s