Tích vô hướng trong không gian các hàm liên tục

BT. Gọi C_{[a,b]} là không gian các hàm liên tục trên đoạn [a,b]. Chứng minh rằng \langle f,g \rangle= \int_{a}^bf(t)g(t) dt là một tích vô hướng trên C_{[a,b]}.

BG. Dễ thấy các tính chất song tuyến tính và dương của \langle f, f \rangle . Ta chỉ còn chứng minh tính xác định của hàm này. Tức là chứng minh rằng nếu \langle f, f \rangle= 0 thì f(t) = 0, \forall t \in [a,b].

Các bạn chứng minh điều này thế nào?

(tiếp theo – 23/12/14)

Vấn đề trên chuyển về bài toán sau: Cho hàm h(t) liên tục và không âm trên đoạn [a,b], chứng minh rằng \int_a^b h(t) dt =0 thì kéo theo h(t) =0, \forall t \in [a,b].

Gợi ý: Chỉ hàm liên tục mới có tính chất này. Chẳng hạn các bạn có thể lấy một hàm không liên tục như sau:

h(t) = 0, \forall t \ne t_0h(t_0) = c > 0 thì ta có thể thấy hàm không liên tục ko thỏa mãn đầu bài. Vậy hàm liên tục nếu khác 0 tại một điểm thì sẽ khác 0 tại những điểm rất gần nó, cụ thể là do nó liên tục nên khác 0 tại một lân cận của điểm t_0.

(tiếp theo – 26/12/14) Phản chứng. Giả sử tồn tại t_0 sao cho h(t_0) >0, do tính chất liên tục nên tồn tại một khoảng con (\alpha, \beta) sao cho h(t) > 0 trên đoạn ấy. Từ đó \int_a^b h(t)dt = \int_{\alpha}^\beta h(t) dt >0. Mâu thuẫn. Từ đó ta có đpcm.

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s