Một số bài tập liên quan về tích vô hướng

1, Trong đại số tuyến tính, tích vô hướng được định nghĩa là một dạng song tuyến tính đối xứng, xác định dương.

Dạng song tuyến tính \eta: V \times V \to \mathbb{R} là:

  • Đối xứng nếu \eta(u,v) = \eta(v,u).
  • Xác định nếu \eta(u,u) = 0 \Rightarrow u = \theta .
  • Không âm nếu \eta(u,u) \ge 0, \forall u.

Chẳng hạn trên \mathbb{R}^3, \langle u, v \rangle = c_1 x_1y_1 + c_2x_2y_2+c_3x_3y_3 với c_i > 0 là một tích vô hướng.

2, Một số tính chất của tích vô hướng: Đặt: \|u\| = \sqrt{\langle u,u \rangle} (Đây là độ dài của véc tơ u, đọc là chuẩn của u). Khi đó ta có một số tính chất sau:

  • Bất đắng thức Cauchy-Schwarz: Với u, v \in V thì |\langle u,v\rangle| \le \|u\|.\|v\|.
  • Khai triển Fourier: v = \langle v, e_1 \rangle e_1 + ... + \langle v, e_n \rangle e_n với \{e_1, \dots, e_n\} là một cơ sở trực chuẩn của V.
  • \|v\|^2 = \langle v, e_1 \rangle^2 + \dots + \langle v, e_n \rangle^2 với cơ sở trực chuẩn như trên.

Sau đây là một số bài tập cho các bạn luyện tập:

  1. Chứng minh BĐT Cauchy-Schwarz.
  2. Chứng minh khai triển Fourier trên.
  3. Chứng minh định lý Pythagorean: Nếu u, v trực giao với nhau thì \|u + v\|^2 = \|u\|^2 + \|v\|^2.
  4. Chứng minh đẳng thức hình bình hành: Nếu u, v \in V thì \|u + v\|^2 + \|u - v\|^2 = \|u\|^2 + \|v\|^2.
  5. Cho u_1, u_2 là hai vec tơ trực giao khác không. Với mọi v \in V, xét v^* = \dfrac{\langle v, u_1 \rangle}{\langle u_1, u_1 \rangle} u_1 + \dfrac{\langle v,u_2\rangle}{\langle u_2,u_2\rangle} u_2. Chứng minh rằng \langle v - v^*, u_1 \rangle = \langle v - v^*, u_2\rangle = 0.

 

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s