# A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits

“A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits”, đó là tên của luận văn thạc sĩ về Khoa học máy tính của Claude E. Shannon bảo vệ tại MIT (Massachusetts Institute of Technology) năm 1937.

Ảnh: Bìa cuốn luận văn của C. Shannon (nguồn: Internet).

Montreal telephone exchange (Wikipedia.org)

Trong luận văn này, Shannon đã chứng tỏ rằng Đại số Boole có thể sử dụng để rút gọn hay đơn giản hóa sự sắp xếp của các rơ le trong các khối của các thiết bị viễn thông cơ điện tự động trong mạng điện thoại (building blocks of the electromechanical automatic telephone exchanges). Ông cũng chứng minh rằng sự sắp xếp các rơ le cũng có thể áp dụng để giải các bài toán của Đại số Boole…

Claude E. Shannon (nguồn: Wikipedia.org)

Nhà tâm lý học Gardner đã miêu tả luận văn của Shannon như một “luận văn thạc sĩ quan trọng nhất, và cũng nổi tiếng nhất hết mức có thể, và là luận văn của thế kỷ”. Ngày nay, Shannon được xem như cha đẻ của lý thuyết thông tin (information theory).

Xem thêm về tiểu sử của Shannon: https://en.wikipedia.org/wiki/Claude_Shannon

# Classical Lojasiewicz inequalities

Let ${f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}}$ be a real analytic function with ${f(0) = 0}$. Let ${V := \{x \in \mathbb{R}^n | f(x) = 0\}}$ and ${K}$ be a compact subset in ${\mathbb{R}^n}$. Then the (classical) \L ojasiewicz inequality asserts that:

• There exist ${c > 0, \alpha > 0}$ such that

$\displaystyle |f(x)| \ge cd(x, V)^\alpha\quad \text{for}\ x \in K.\ \ \ \ \ (1)$

\noindent Let ${f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}}$ be a real analytic function with ${f(0) = 0}$ and ${\nabla f(0) = 0}$. The \L ojasiewicz gradient inequality asserts that:

• There exist ${C > 0, \rho \in [0, 1)}$ and a neighbourhood ${U}$ of ${0}$ such that

$\displaystyle \|\nabla f(x)\| \ge C|f(x)|^\rho\quad \text{for}\ x \in U.\ \ \ \ \ (2)$

As a consequence, in (1), the order of zero of an analytic function is finite, and if ${f (x)}$ is close to ${0}$ then ${x}$ is close to the zero set of ${f}$. However, if ${K}$ is not compact, the latter is not always true and the inequality (1) does not always hold. The inequality (2) is similar to (1), it is not true in the case of $K$ is non-compact.

Two inequalities (1) and (2) have some special cases. For example, in the inequality (1), if ${f}$ has only isolated zero, i.e. ${V = f^{-1}(0) = \{(0, 0, \dots, 0)\}}$, this implies ${d(x, V) = \|x\|}$. Hence, we have

$\displaystyle |f(x)| \ge C\|x\|^\alpha, \text{for}\ x\in K.$

On the other hand, being different from (2), we have another inequality:

$\displaystyle \|\nabla f(x)\| \ge c\|x\|^\beta, \text{for}\ x \in U.$

There are some relations between ${\alpha, \beta}$ and ${\rho}$ in complex case and real cases…

# On a property of holomorphic functions

We can see that a holomorphic functions are the complex functions such that they can express a convergent power series

$\displaystyle f(z) = \sum_{i=0}^\infty a_nz^n.$

We want to compute ${\int\limits_\gamma f(z)dz}$. Suppose ${\gamma}$ is closed curve (Jordan curve).

We compute the integral for ${\gamma = \mathbb{S}^1}$. Firstly, consider ${\int_{\mathbb{S}^1}z^ndz, n \ge 1}$. Change the variables, ${z = e^{2\pi it}, t \in [0,1]}$, so

$\displaystyle \int_{\mathbb{S}^1}z^ndz = \int_0^1e^{2n\pi it}2 \pi i\cdot e^{2\pi it}dt = \int_0^1e^{2(n+1)\pi it}2 \pi idt = \dfrac{e^{2(n+1)\pi it}}{n+1}\bigg|_0^1 = 0.$

This computation, we think that it is important, because it implies a classical result
Theorem 1 (Cauchy integral theorem) Let ${f : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}}$ be a holomorphic function on ${\mathbb{C}}$. Then

$\displaystyle \int_\gamma f(z) dz= 0,$

with ${\gamma}$ is closed Jordan curve.

Of course it has modulo an any closed Jordan curve: If $\gamma_1$ and $\gamma_2$ are two closed Jordan curve with a common fixed point then  $\displaystyle \int_{\gamma_1} f(z)dz = \int_{\gamma_2} f(z) dz,$

# Một ví dụ về mặt chính quy

BT. Cho hàm $f(x,y,z)=z^{2}$. CMR $0$  không là giá trị chính qui của hàm $f$ thế nhưng $f^{-1}(0)$ vẫn là mặt chính qui.

Lời giải.

Ta có ma trận $(f_x \ f_y \ f_z) = (0 \ 0 \ 2z)$ suy biến tức $rankA < 1$ khi và chỉ khi $z=0$, do đó tại điểm $(x, y, 0), \forall x, y \in \mathbb{R}$, ma trận trên suy biến và do đó là điểm kì dị. Mà $f(x,y,0)=0$ nên $0$ là giá trị tới hạn, hay ko phải giá trị chính qui. Nhưng $f^{-1}(0)$ là mặt phẳng Oxy, đây là mặt trơn nên chính qui.