## On the diffetential of a mapping 2

In the case ${\psi : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m}$ case, there is a linear map, which is “linear approximation” of ${\psi}$. In the manifold case, there is a similar linear map, but now it acts between tangent spaces. If ${M}$ and ${N}$ are smooth manifolds and ${\psi \colon M \rightarrow N}$ is a smooth map then for each ${m \in M}$, the map

$\displaystyle d\psi \colon T_mM \rightarrow T_{\psi(m)}N$

is defined by

$\displaystyle d\psi(v)(f) = v(f \circ \psi)$

is called the pushforward. Actually,

$\displaystyle d\psi \colon TM \rightarrow TN.$

Suppose that ${\dim{M} \ge \dim{N}}$ and ${f \colon M \rightarrow N}$ is a differentiable mapping. We have

Definition 1 The mapping ${f}$ is called a trivial fibration (differentiable) on ${N}$ if there exists a differential manifold ${F}$, is called fibre of ${f}$, and a diffeomorphism

$\displaystyle \phi \colon M \rightarrow N \times F$

such that the following diagram is commutative

## Representation of a linear functional

We review results of Haviland and Riesz on the reperesentation of a linear functional.

Definition 1 Let ${X}$ be a subset of ${\mathbb{R}^n}$ and ${C(X)}$ be algebra of continuous functions on ${X}$. A positive linear functional on ${C(X)}$ is a linear functional ${L}$ with ${L(f) \ge 0}$ for all ${f \in C(X)}$ such that ${f(a) \ge 0, \forall a \in X}$.

We recall Haviland’s result in \cite{Marshall2} (also see \cite{Ha1, Ha2}), with ${\mathbb{R}[x_1, \dots, x_n]}$ denotes the ring of real multivariable polynomials:

Theorem 2 (Haviland) For a linear functional ${L: \mathbb{R}[x_1, \dots, x_n]}$ and closed set ${K}$ in ${\mathbb{R}^n}$, the following are equivalent:

1. ${L}$ comes from a Borel measure on ${K}$, i.e., ${\exists}$ a Borel measure ${\mu}$ on ${K}$ such that, ${\forall f \in \mathbb{R}[x_1, \dots, x_n], L(f) = \int f d\mu.}$
2. ${L(f) \ge 0}$ holds for all ${f \in \mathbb{R}[x_1, \dots, x_n]}$ such that ${f \ge 0}$ on ${K}$.

In Haviland’s theorem, a positive linear functional extended from ring of real multivariable polynomials to larger subalgebra and this theorem can be derived as a consequence of the following Riesz Representation Theorem (see \cite[p. 77]{KS}):

Theorem 3 (Riesz Representation Theorem) Let ${X}$ be a locally compact Hausdorff space and let ${L: C_c(X) \rightarrow \mathbb{R}}$ be a positive linear functional. Then there exists a unique Borel measure ${\mu}$ on ${X}$ such that

$\displaystyle L(f) = \int f d\mu, \forall f \in C_c(X).$

${C_c(X)}$ is the algebra of continuous functions with compact support.

## On the differential of a mapping

From on Warner’s book.

Smooth curve on manifold ${M}$:

A ${C^\infty}$ mapping ${\alpha : (a, b) \rightarrow M}$. Let ${t \in (a, b)}$, we define the tangent vector of the curve ${\alpha}$ at ${t}$ is the vector

$\displaystyle d\alpha\bigg(\dfrac{d}{dt}\bigg|_{t = 0}\bigg) \in T_{\alpha(0)}M.$

we apply the formula

$\displaystyle d\psi(v)(g) = v(g \circ \psi),$

where ${g}$ is an any function on ${M}$.

Put ${\psi = \alpha(t)}$ and ${v = \dfrac{d}{dt}\alpha(t)\big|_{t = 0}}$, the above formula implies

$\displaystyle d\alpha(\frac{d}{dt}\big|_{t=0})(f) = (\frac{d}{dt}\big|_{t=0})(f \circ \alpha) = \frac{d}{dt}(f \circ \alpha)\big|_{t=0}.$

This is directional derivative.

## Bảng điểm thành phần các lớp Toán cao cấp 2 – D15 khối Kinh tế

Dear all,

Thầy tổng kết điểm dựa trên nguyên tắc sau:

• Nếu nhóm kiểm tra nào chia đều điểm: trừ điểm cả nhóm.
• Nếu nhóm nào chia điểm sai: Trừ điểm nhóm trưởng.
• Điểm chuyên cần: Vắng 1 buổi trừ 2 điểm.
• Điểm dấu cộng – trừ: + thì cộng 2, – thì trừ 2.
• Được 5 dấu + thì full 10 3 cột (tuỳ theo chất lượng bài tập lớn, nếu tốt).

File Điểm chuyên cần và kiểm tra (chưa tính dấu +) các lớp Toán cao cấp 2: Diem-thanh-phan-TCC2-chuacong

Chú ý: Bảng điểm sẽ được update

1, Lớp số 7 (Đặng Thái Sơn lớp trưởng): <– Hôm qua nhầm tên Hải Dương.

Trừ điểm kiểm tra của:

• Nhóm Dương Thị Hiền vì chia đều điểm.
• Nhóm Tăng thị Ngọc Mai: chia điểm sai (nhiều hơn số đã có).

2, Lớp số 3 (Nguyễn Mai Linh lt):

• Trừ Nhóm Tố Uyên: chia điểm sai.
• Lưu ý: Nhóm Đỗ Thị Hương: nhóm này chia điểm Phí Phương Anh: 0 –> bạn này sẽ không được thi.

3, Lớp số 4 (Nguyễn Thu Hoà lt):

• Nhóm này có 3 bạn Nguyễn Thị Huyền nhưng có 2 bạn ko ghi cụ thể là lớp nào (trừ Ng Thị Huyền PT01), báo lại sớm ở comment dưới bài này là các em ở nhóm nào để thầy vào điểm kiểm tra nhé.

Các em có thắc mắc gì thì comment ngay tại đây. Ở dưới.

UPDATE 1:

UPDATE 2:

• Điểm bài tập lớn các lớp số 1 (LT: Lê Thị Hoà), lớp số 8 (LT: Hải Dương). Chú ý: Đây là toàn bộ điểm thành phần chưa cộng và chưa trừ: