On the diffetential of a mapping 2

In the case {\psi : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m} case, there is a linear map, which is “linear approximation” of {\psi}. In the manifold case, there is a similar linear map, but now it acts between tangent spaces. If {M} and {N} are smooth manifolds and {\psi \colon M \rightarrow N} is a smooth map then for each {m \in M}, the map

\displaystyle d\psi \colon T_mM \rightarrow T_{\psi(m)}N

is defined by

\displaystyle d\psi(v)(f) = v(f \circ \psi)

is called the pushforward. Actually,

\displaystyle d\psi \colon TM \rightarrow TN.

Suppose that {\dim{M} \ge \dim{N}} and {f \colon M \rightarrow N} is a differentiable mapping. We have

Definition 1 The mapping {f} is called a trivial fibration (differentiable) on {N} if there exists a differential manifold {F}, is called fibre of {f}, and a diffeomorphism

\displaystyle \phi \colon M \rightarrow N \times F

such that the following diagram is commutative

sodo

Advertisements

Representation of a linear functional

We review results of Haviland and Riesz on the reperesentation of a linear functional.

Definition 1 Let {X} be a subset of {\mathbb{R}^n} and {C(X)} be algebra of continuous functions on {X}. A positive linear functional on {C(X)} is a linear functional {L} with {L(f) \ge 0} for all {f \in C(X)} such that {f(a) \ge 0, \forall a \in X}.

We recall Haviland’s result in \cite{Marshall2} (also see \cite{Ha1, Ha2}), with {\mathbb{R}[x_1, \dots, x_n]} denotes the ring of real multivariable polynomials:

Theorem 2 (Haviland) For a linear functional {L: \mathbb{R}[x_1, \dots, x_n]} and closed set {K} in {\mathbb{R}^n}, the following are equivalent:

  1. {L} comes from a Borel measure on {K}, i.e., {\exists} a Borel measure {\mu} on {K} such that, {\forall f \in \mathbb{R}[x_1, \dots, x_n], L(f) = \int f d\mu.}
  2. {L(f) \ge 0} holds for all {f \in \mathbb{R}[x_1, \dots, x_n]} such that {f \ge 0} on {K}.

In Haviland’s theorem, a positive linear functional extended from ring of real multivariable polynomials to larger subalgebra and this theorem can be derived as a consequence of the following Riesz Representation Theorem (see \cite[p. 77]{KS}):

Theorem 3 (Riesz Representation Theorem) Let {X} be a locally compact Hausdorff space and let {L: C_c(X) \rightarrow \mathbb{R}} be a positive linear functional. Then there exists a unique Borel measure {\mu} on {X} such that

\displaystyle L(f) = \int f d\mu, \forall f \in C_c(X).

{C_c(X)} is the algebra of continuous functions with compact support.

Bảng điểm thành phần các lớp Toán cao cấp 2 – D15 khối Kinh tế

Dear all,

Thầy tổng kết điểm dựa trên nguyên tắc sau:

  • Nếu nhóm kiểm tra nào chia đều điểm: trừ điểm cả nhóm.
  • Nếu nhóm nào chia điểm sai: Trừ điểm nhóm trưởng.
  • Điểm chuyên cần: Vắng 1 buổi trừ 2 điểm.
  • Điểm dấu cộng – trừ: + thì cộng 2, – thì trừ 2.
  • Được 5 dấu + thì full 10 3 cột (tuỳ theo chất lượng bài tập lớn, nếu tốt).

File Điểm chuyên cần và kiểm tra (chưa tính dấu +) các lớp Toán cao cấp 2: Diem-thanh-phan-TCC2-chuacong

Chú ý: Bảng điểm sẽ được update

1, Lớp số 7 (Đặng Thái Sơn lớp trưởng): <– Hôm qua nhầm tên Hải Dương.

Trừ điểm kiểm tra của:

  • Nhóm Dương Thị Hiền vì chia đều điểm.
  • Nhóm Tăng thị Ngọc Mai: chia điểm sai (nhiều hơn số đã có).

2, Lớp số 3 (Nguyễn Mai Linh lt):

  • Trừ Nhóm Tố Uyên: chia điểm sai.
  • Lưu ý: Nhóm Đỗ Thị Hương: nhóm này chia điểm Phí Phương Anh: 0 –> bạn này sẽ không được thi.

3, Lớp số 4 (Nguyễn Thu Hoà lt):

  • Nhóm này có 3 bạn Nguyễn Thị Huyền nhưng có 2 bạn ko ghi cụ thể là lớp nào (trừ Ng Thị Huyền PT01), báo lại sớm ở comment dưới bài này là các em ở nhóm nào để thầy vào điểm kiểm tra nhé.

Các em có thắc mắc gì thì comment ngay tại đây. Ở dưới.

UPDATE 1:

UPDATE 2: 

  • Điểm bài tập lớn các lớp số 1 (LT: Lê Thị Hoà), lớp số 8 (LT: Hải Dương). Chú ý: Đây là toàn bộ điểm thành phần chưa cộng và chưa trừ:

Link tải file: Diem-thanh-phan-TCC2-updating-2

UPDATE FULL: 03/6/16

  • Nhóm 4 (LT: Nguyễn Thu Hoà): Bạn Tạ Duy Đông và Nguyễn Ngọc Tiến không có bài tập lớn??  –> không đc thi. Các em ở nhóm bài tập nào?
  • Nhóm 3 (LT: Nguyễn Mai Linh): Bạn Lê Huy Hoàng ko có BTL –> Báo lại xem ở nhóm nào?
  • Bảng điểm full, đã cộng và trừ, thưởng: Diem-thanh-phan-TCC2-full

Các bạn chú ý: HẾT thời gian thắc mắc điểm rồi nhé. Điểm thầy đã tổng kết và nộp rồi.