Thể tích hình cầu n chiều – I

Abstract. Trong tài liệu này chúng tôi trình bày một số phương pháp tính thể tích hình cầu n chiều, trong đó kiến thức chỉ dùng Giải tích 1+2 và liên quan đến hàm Gamma và biến đổi Laplace học trong chương trình Toán kỹ thuật của Học viện CNBCVT.

1. Giới thiệu

Trong các đối tượng hình học thì hình cầu luôn là một đối tượng đặc biệt. Đó là một tập đóng và bị chặn, tức là trong không gian Euclid {\mathbb{R}^n} thì hình cầu {B_n} là một tập compact.

Definition 1 Tập hợp

\displaystyle B_n(R) := \{(x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n| x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2 \le R^2\},

trong đó {R} là một số thực không âm, được gọi là hình cầu bán kính {R} trong không gian Euclid {\mathbb{R}^n, n \ge 1}.

Example 1 \quad

  1. {n=1} thì {B_1(R)} là đoạn {[-R; R]}.
  2. {n=2} thì {B_2(R)} là hình tròn tâm {O(0;0)} bán kính {R}:

    \displaystyle B_2(R) := \{(x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2| x_1^2 + x_2^2 \le R^2\}.

  3. {n=3} thì {B_3(R)} là hình cầu (ball) tâm {O(0;0;0)} bán kính {R}:

    \displaystyle B_3(R) := \{(x_1, x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3| x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 \le R^2\}.

Ta có bài toán cơ bản sau:  Tính thể tích của hình cầu {B_n(R)}.

Ta có kết quả sau:

Theorem 2 Thể tích của hình cầu {n} chiều, bán kính {R} được tính theo công thức sau đây

\displaystyle V_n(R) = \dfrac{\pi^{n/2}R^n}{\Gamma(\frac{n}{2} + 1)}.

Trước hết, ta trình bày 2 phương pháp chứng minh định lý trên theo cách cổ điển thường thấy trong một số tài liệu về Giải tích các hàm nhiều biến. Chẳng hạn, xem [1, 2].

2. Phương pháp 1

Ta có {\mathbb{R}^n = \mathbb{R}^{n-2}\times \mathbb{R}^2}. Khi đó {(x_1, \dots, x_n) \in B_n(R)} nếu và chỉ nếu

\displaystyle x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_{n-2}^2 + x_{n-1}^2 + x_n^2 \le R^2,

tức là tương đương

\displaystyle x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_{n-2}^2 \le R^2 - x_{n-1}^2 - x_n^2.

Vì vậy

\displaystyle V_n(R) = \int_{B_n(R)} dx_1dx_2\dots dx_n

\displaystyle = \int_{B_2(R)}\bigg( \int_{B_{n-2}(\sqrt{R^2 - x_{n-1}^2 - x_n^2})}dx_1 \dots dx_{n-2} \bigg) dx_{n-1}dx_n, .

Bằng quy nạp, ta có:

\displaystyle V_n(R) = \frac{\pi^{(n-2)/2}}{\Gamma(\frac{n-2}{2} + 1)}\int_{B_2(R)}(R^2 - x_{n-1}^2 - x_n^2)^{(n-2)/2}dx_{n-1}dx_n.

Sử dụng tọa độ cực, ta có được kết quả

\displaystyle \frac{\pi^{(n-2)/2}}{\Gamma(\frac{n}{2})}\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{R}(R^2 - t^2)^{(n-2)/2}tdt = \frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2})}\cdot\frac{R^n}{n} = \dfrac{\pi^{n/2}R^n}{\Gamma(\frac{n}{2} + 1)}.

Tài liệu tham khảo

  1. T. M. Apostol, Calculus, Volume 2, second edition, Wiley, 1969.
  2. D. J. Smith and M. K. Vamanamurthy, How small is a Unit ball?, Mathematics Magazine, Vol. 62, No. 2 (1989), 101-107.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s