Thể tích hình cầu n chiều – II

Bài này tiếp nối bài “Tính thể tích hình cầu n chiều – I”. Trong bài thứ nhất, ta đã định nghĩa và trình bày cách tính hình cầu với phương pháp tính tích phân và đổi biến thông thường. Giờ đây ta sẽ trình bày tiếp 2 phương pháp nữa. Trong đó phương pháp của Lasserre theo chúng tôi là thú vị hơn cả. Vừa ngắn gọn lại dùng biến đổi Laplace. Xin trình bày 2 phương pháp tiếp theo.

Abstract. Trong tài liệu này chúng tôi trình bày một số phương pháp tính thể tích hình cầu n chiều, trong đó kiến thức chỉ dùng Giải tích 1+2 và liên quan đến hàm Gamma và biến đổi Laplace học trong chương trình Toán kỹ thuật của Học viện CNBCVT.

3. Phương pháp 2

Ta có {\mathbb{R}^n = \mathbb{R}^{n-1}\times \mathbb{R}}. Khi đó

\displaystyle V_n(R) = \int_{B_n(R)}dx_1dx_2\dots dx_n

\displaystyle = \int_{B_1(R)}\bigg( \int_{B_{n-1}(\sqrt{R^2 - x_n^2})}dx_1 \dots dx_{n-1} \bigg) dx_n,

bằng quy nạp, ta được

\displaystyle = \frac{\pi^{(n-1)/2}}{\Gamma(\frac{n-1}{2} + 1)}\int_{-R}^{R}(R^2 - x_n^2)^{(n-1)/2}dx_n

\displaystyle = \frac{2\pi^{(n-1)/2}}{\Gamma(\frac{n + 1}{2})}\int_{0}^{R}(R^2 - x_n^2)^{(n-1)/2}dx_n,

đặt {x_n = R\sqrt{t}}, ta có

\displaystyle = \frac{2\pi^{(n-1)/2}}{\Gamma(\frac{n + 1}{2})}\frac{R^n}{2}\int_{0}^{1}(1 - t)^{(n-1)/2}t^{-1/2}dt

\displaystyle = R^n\frac{\pi^{(n-1)/2}}{\Gamma(\frac{n + 1}{2})}B(\frac{n+1}{2}, \frac{1}{2})

\displaystyle = R^n\frac{\pi^{(n-1)/2}}{\Gamma(\frac{n + 1}{2})}\frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})\Gamma(\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{n}{2} + 1)}

Từ {\Gamma(\frac{1}{2}) = \pi^{1/2}}, ta được

\displaystyle V_n(R) = \dfrac{\pi^{n/2}R^n}{\Gamma(\frac{n}{2} + 1)}.

4. Phương pháp 3 (theo Lasserre)

Phương pháp của Lasserre là xét một hàm tích phân, sau đó dùng biến đổi Laplace để đưa ra công thức của Định lý chính. Phương pháp này như sau (xem \cite{Lasserre}).

Xét hàm {f : \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+},

\displaystyle y \mapsto f(y) := \int_{\|x\|^2 \le y}dx.

Hàm này chính là hàm tính thể tích của hình cầu bán kính {\sqrt{y}}. Xét phép biến đổi Laplace {F : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}} xác định như sau:

\displaystyle z \mapsto F(z) := \int_0^{\infty}e^{-zy}f(y)dy, z \in \mathbb{C}, Re(z) > 0.

Khi đó

\displaystyle F(z) = \int_0^{\infty} e^{-zy}\big[\int_{\|x\|^2 \le y}dx \big]dy

{= \int_{\mathbb{R}^n}\bigg[ \int_{\|x\|^2}^{\infty}e^{-zy}dy \bigg]dx} {= z^{-1}\int_{\mathbb{R}^n}e^{-z\|x\|^2}dx} {= z^{-1}\prod_{i=1}^n \int_{-\infty}^{\infty} e^{-zx_i^2}dx_i}

\displaystyle = z^{-1}[\pi/z]^{n/2} = z^{-n/2-1}\pi^{n/2} = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2 + 1)}\cdot\frac{\Gamma(n/2 + 1)}{z^{n/2+1}}.

Ta thấy {\frac{\Gamma(n/2 + 1)}{z^{n/2+1}}} chính là biến đổi Laplace của {y^{n/2}}, tức là

\displaystyle \frac{\Gamma(n/2 + 1)}{z^{n/2+1}} = \mathcal{L}(y^{n/2}).

Từ đó ta có

\displaystyle f(y) = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2 + 1)}y^{n/2}.

Kết luận cuối cùng đúng đắn vì tính tuyến tính và tính duy nhất của biến đổi Laplace:

\displaystyle \mathcal{L}(f) = \mathcal{L}(g) \Rightarrow f = g.

Định lý được chứng minh.

Hệ quả.  Với R > 0 thì

\lim_{n \to \infty}V_n(R) = 0.

Vậy số chiều càng lớn thì thế giới càng nhỏ :))

Tài liệu tham khảo

  1. T. M. Apostol, Calculus, Volume 2, second edition, Wiley, 1969.
  2. D. J. Smith and M. K. Vamanamurthy, How small is a Unit ball?, Mathematics Magazine, Vol. 62, No. 2 (1989), 101-107.
  3. J. B. Lasserre, A Quick proof for the Volume of n-Balls, The American Mathematical Monthly, Vol. 108, No. 8 (2001), p. 768-769.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s