Posted in 3, Scores (bảng điểm các môn)

Bảng điểm thành phần Toán cao cấp 2 – D19 (đã cộng)

Dear all,

Các em vào xem Bảng điểm thành phần môn Toán cao cấp 2 các nhóm nhé, mỗi nhóm 1 sheet.

Lưu ý: Bảng điểm này là bảng điểm đã có cộng: một dấu + thì được cộng 2 điểm. Chuyên cần vắng 1 buổi trừ 2 điểm, 5 buổi là 0 điểm. Ai không có điểm bài tập lớn thì cột đó là 0 và đồng nghĩa với không được thi.

Dưới đây là link:

TOAN CC2 NEW- 6-7-2020

Mọi thắc mắc gửi về mail hpdung83@gmail.com – hạn cuối: trước 8h30 ngày 17/7/2020. Sau thời gian trên, bảng điểm sẽ được gửi lên trường, thắc mắc hết hiệu lực.

Posted in 3, Scores (bảng điểm các môn)

Bảng điểm thành phần môn Đại số – CN11+12 và AT03+04

Dear all,

Dưới đây là Bảng điểm thành phần môn Đại số

Bảng điểm đã được:

  • Cộng các bạn được dấu + trong quá trình học, các dấu trừ được miễn;
  • Cộng bài tập lớn theo nhóm, các mem trong mỗi nhóm sẽ cùng được cộng 1, 2, 3 điểm tùy theo chất lượng bài làm nhóm gửi (số lượng bài đúng, cách trình bày, hình thức trình bày: A4, đóng quyển,…);
  • Đã xem xét giải quyết cho một số bạn bị ốm (có giấy bệnh viện), người nhà mất.

Mọi thắc mắc gửi mail về cho thầy: hpdung83@gmail.com trước 24h ngày 02/01/20Sau thời gian trên, thắc mắc hết hiệu lực vì bảng điểm sẽ được gửi đi.

Chú ý: Mail được gửi đến phải được viết đàng hoàng, lịch sự, đầy đủ thông tin. Nếu không thậm chí sẽ bị trừ điểm (vì có một số mail gửi đến đợt vừa rồi khá bất lịch sự). 

Posted in 3, Scores (bảng điểm các môn)

Thông báo: Bảng điểm thành phần lớp HLR môn Đại số 2019

Đây là bảng điểm thành phần lớp HLR – môn ĐẠI SỐ:

BDTP-Daiso-HLR nam hoc 2019

Ai thiếu 1 cột vẫn không được thi, ai đủ 2 lần nộp bài tập mới có cả 2 cột.

Hạn thắc mắc điểm: Trước 20h ngày 01/01/2020 gửi mail cho thầy theo đ/c: hpdung83@gmail.com

Sau thời gian trên, bảng điểm sẽ được gửi đi, mọi thắc mắc hết hiệu lực.

Posted in 3, Scores (bảng điểm các môn)

Bảng điểm môn Toán kỹ thuật – Nhóm 5+6

D18, Nhóm 5+6 Toán kỹ thuật thân mến,

Các bạn vào xem Bảng điểm thành phần môn Toán kỹ thuật của nhóm mình. Để xem thì nhấn vào từng tab tương ứng ở góc trái bên dưới.

Bảng điểm này là bảng điểm đã có cộng: một dấu + thì được cộng 2 điểm. Chuyên cần vắng 1 buổi trừ 2, 5 buổi là 0 điểm.

Posted in 3, Scores (bảng điểm các môn)

Bảng điểm môn Toán kỹ thuật của D18 các nhóm 3-4-7-8

D18 PTIT thân mến,

Các bạn vào xem Bảng điểm thành phần môn Toán kỹ thuật các nhóm 3-4-7-8. Để xem thì nhấn vào từng tab tương ứng ở góc trái bên dưới.

Bảng điểm này là bảng điểm đã có cộng: một dấu + thì được cộng 2 điểm. Chuyên cần vắng 1 buổi trừ 2, 5 buổi là 0 điểm.

Một số bạn lên bảng nhiều (khoảng 3,4 lần trở lên) thì được cộng full.

Mọi thắc mắc gửi về mail hpdung83@gmail.com – hạn cuối: trước 24h00 ngày 08/12/2019. Sau thời gian trên, thắc mắc hết hiệu lực.

Best.

Posted in Advanced Engineering Mathematics

Thể tích hình cầu n chiều – II

Bài này tiếp nối bài “Tính thể tích hình cầu n chiều – I”. Trong bài thứ nhất, ta đã định nghĩa và trình bày cách tính hình cầu với phương pháp tính tích phân và đổi biến thông thường. Giờ đây ta sẽ trình bày tiếp 2 phương pháp nữa. Trong đó phương pháp của Lasserre theo chúng tôi là thú vị hơn cả. Vừa ngắn gọn lại dùng biến đổi Laplace. Xin trình bày 2 phương pháp tiếp theo.

Abstract. Trong tài liệu này chúng tôi trình bày một số phương pháp tính thể tích hình cầu n chiều, trong đó kiến thức chỉ dùng Giải tích 1+2 và liên quan đến hàm Gamma và biến đổi Laplace học trong chương trình Toán kỹ thuật của Học viện CNBCVT.

3. Phương pháp 2

Ta có {\mathbb{R}^n = \mathbb{R}^{n-1}\times \mathbb{R}}. Khi đó

\displaystyle V_n(R) = \int_{B_n(R)}dx_1dx_2\dots dx_n

\displaystyle = \int_{B_1(R)}\bigg( \int_{B_{n-1}(\sqrt{R^2 - x_n^2})}dx_1 \dots dx_{n-1} \bigg) dx_n,

bằng quy nạp, ta được

\displaystyle = \frac{\pi^{(n-1)/2}}{\Gamma(\frac{n-1}{2} + 1)}\int_{-R}^{R}(R^2 - x_n^2)^{(n-1)/2}dx_n

\displaystyle = \frac{2\pi^{(n-1)/2}}{\Gamma(\frac{n + 1}{2})}\int_{0}^{R}(R^2 - x_n^2)^{(n-1)/2}dx_n,

đặt {x_n = R\sqrt{t}}, ta có

\displaystyle = \frac{2\pi^{(n-1)/2}}{\Gamma(\frac{n + 1}{2})}\frac{R^n}{2}\int_{0}^{1}(1 - t)^{(n-1)/2}t^{-1/2}dt

\displaystyle = R^n\frac{\pi^{(n-1)/2}}{\Gamma(\frac{n + 1}{2})}B(\frac{n+1}{2}, \frac{1}{2})

\displaystyle = R^n\frac{\pi^{(n-1)/2}}{\Gamma(\frac{n + 1}{2})}\frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})\Gamma(\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{n}{2} + 1)}

Từ {\Gamma(\frac{1}{2}) = \pi^{1/2}}, ta được

\displaystyle V_n(R) = \dfrac{\pi^{n/2}R^n}{\Gamma(\frac{n}{2} + 1)}.

4. Phương pháp 3 (theo Lasserre)

Phương pháp của Lasserre là xét một hàm tích phân, sau đó dùng biến đổi Laplace để đưa ra công thức của Định lý chính. Phương pháp này như sau (xem \cite{Lasserre}).

Xét hàm {f : \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+},

\displaystyle y \mapsto f(y) := \int_{\|x\|^2 \le y}dx.

Hàm này chính là hàm tính thể tích của hình cầu bán kính {\sqrt{y}}. Xét phép biến đổi Laplace {F : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}} xác định như sau:

\displaystyle z \mapsto F(z) := \int_0^{\infty}e^{-zy}f(y)dy, z \in \mathbb{C}, Re(z) > 0.

Khi đó

\displaystyle F(z) = \int_0^{\infty} e^{-zy}\big[\int_{\|x\|^2 \le y}dx \big]dy

{= \int_{\mathbb{R}^n}\bigg[ \int_{\|x\|^2}^{\infty}e^{-zy}dy \bigg]dx} {= z^{-1}\int_{\mathbb{R}^n}e^{-z\|x\|^2}dx} {= z^{-1}\prod_{i=1}^n \int_{-\infty}^{\infty} e^{-zx_i^2}dx_i}

\displaystyle = z^{-1}[\pi/z]^{n/2} = z^{-n/2-1}\pi^{n/2} = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2 + 1)}\cdot\frac{\Gamma(n/2 + 1)}{z^{n/2+1}}.

Ta thấy {\frac{\Gamma(n/2 + 1)}{z^{n/2+1}}} chính là biến đổi Laplace của {y^{n/2}}, tức là

\displaystyle \frac{\Gamma(n/2 + 1)}{z^{n/2+1}} = \mathcal{L}(y^{n/2}).

Từ đó ta có

\displaystyle f(y) = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2 + 1)}y^{n/2}.

Kết luận cuối cùng đúng đắn vì tính tuyến tính và tính duy nhất của biến đổi Laplace:

\displaystyle \mathcal{L}(f) = \mathcal{L}(g) \Rightarrow f = g.

Định lý được chứng minh.

Hệ quả.  Với R > 0 thì

\lim_{n \to \infty}V_n(R) = 0.

Vậy số chiều càng lớn thì thế giới càng nhỏ :))

Tài liệu tham khảo

  1. T. M. Apostol, Calculus, Volume 2, second edition, Wiley, 1969.
  2. D. J. Smith and M. K. Vamanamurthy, How small is a Unit ball?, Mathematics Magazine, Vol. 62, No. 2 (1989), 101-107.
  3. J. B. Lasserre, A Quick proof for the Volume of n-Balls, The American Mathematical Monthly, Vol. 108, No. 8 (2001), p. 768-769.
Posted in Advanced Engineering Mathematics

Thể tích hình cầu n chiều – I

Abstract. Trong tài liệu này chúng tôi trình bày một số phương pháp tính thể tích hình cầu n chiều, trong đó kiến thức chỉ dùng Giải tích 1+2 và liên quan đến hàm Gamma và biến đổi Laplace học trong chương trình Toán kỹ thuật của Học viện CNBCVT.

1. Giới thiệu

Trong các đối tượng hình học thì hình cầu luôn là một đối tượng đặc biệt. Đó là một tập đóng và bị chặn, tức là trong không gian Euclid {\mathbb{R}^n} thì hình cầu {B_n} là một tập compact.

Definition 1 Tập hợp

\displaystyle B_n(R) := \{(x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n| x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2 \le R^2\},

trong đó {R} là một số thực không âm, được gọi là hình cầu bán kính {R} trong không gian Euclid {\mathbb{R}^n, n \ge 1}.

Example 1 \quad

  1. {n=1} thì {B_1(R)} là đoạn {[-R; R]}.
  2. {n=2} thì {B_2(R)} là hình tròn tâm {O(0;0)} bán kính {R}:

    \displaystyle B_2(R) := \{(x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2| x_1^2 + x_2^2 \le R^2\}.

  3. {n=3} thì {B_3(R)} là hình cầu (ball) tâm {O(0;0;0)} bán kính {R}:

    \displaystyle B_3(R) := \{(x_1, x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3| x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 \le R^2\}.

Ta có bài toán cơ bản sau:  Tính thể tích của hình cầu {B_n(R)}.

Ta có kết quả sau:

Theorem 2 Thể tích của hình cầu {n} chiều, bán kính {R} được tính theo công thức sau đây

\displaystyle V_n(R) = \dfrac{\pi^{n/2}R^n}{\Gamma(\frac{n}{2} + 1)}.

Trước hết, ta trình bày 2 phương pháp chứng minh định lý trên theo cách cổ điển thường thấy trong một số tài liệu về Giải tích các hàm nhiều biến. Chẳng hạn, xem [1, 2].

2. Phương pháp 1

Ta có {\mathbb{R}^n = \mathbb{R}^{n-2}\times \mathbb{R}^2}. Khi đó {(x_1, \dots, x_n) \in B_n(R)} nếu và chỉ nếu

\displaystyle x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_{n-2}^2 + x_{n-1}^2 + x_n^2 \le R^2,

tức là tương đương

\displaystyle x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_{n-2}^2 \le R^2 - x_{n-1}^2 - x_n^2.

Vì vậy

\displaystyle V_n(R) = \int_{B_n(R)} dx_1dx_2\dots dx_n

\displaystyle = \int_{B_2(R)}\bigg( \int_{B_{n-2}(\sqrt{R^2 - x_{n-1}^2 - x_n^2})}dx_1 \dots dx_{n-2} \bigg) dx_{n-1}dx_n, .

Bằng quy nạp, ta có:

\displaystyle V_n(R) = \frac{\pi^{(n-2)/2}}{\Gamma(\frac{n-2}{2} + 1)}\int_{B_2(R)}(R^2 - x_{n-1}^2 - x_n^2)^{(n-2)/2}dx_{n-1}dx_n.

Sử dụng tọa độ cực, ta có được kết quả

\displaystyle \frac{\pi^{(n-2)/2}}{\Gamma(\frac{n}{2})}\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{R}(R^2 - t^2)^{(n-2)/2}tdt = \frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2})}\cdot\frac{R^n}{n} = \dfrac{\pi^{n/2}R^n}{\Gamma(\frac{n}{2} + 1)}.

Tài liệu tham khảo

  1. T. M. Apostol, Calculus, Volume 2, second edition, Wiley, 1969.
  2. D. J. Smith and M. K. Vamanamurthy, How small is a Unit ball?, Mathematics Magazine, Vol. 62, No. 2 (1989), 101-107.