Posted in Analysis and Optimization

## Germs of smooth functions

In maths, the notion of germ is used to definition “generic” of functions, in other hand, germ is used to say about mostly functions on topological spaces.

Consider to a point, we need to get information from that point, so we take a neighborhood of that point, assume that the point is $x$.

With a smooth function on manifold $M$, germ of smooth functions near $x$ is a pair $(U,f)$ such that $f: U \to \mathbb{R}$ is smooth on local neighborhood $U$ of $x$.

Two pairs $(U,f)$ and $(V,g)$ is equivalent if there is an open subset $W \subset U \cap V$ such that $f_{|_W} = g_{|_W}$. So a germ of smooth function near $x$ is an equivalent class of that pairs.

(to be cont.)

References: Wikipedia, planetmath.org

Posted in Analysis and Optimization, Calculus

## A nice list of articles of the Mean Value Theorem

A nice list (by John H. Mathews) of articles of various authors on the theme of extending the validity of the Mean Value Theorem to vector values function.

Source: http://mathoverflow.net/questions/80955/mean-value-theorem-for-operators?rq=1

Posted in Analysis and Optimization

## A classical result of Kadec and Pelczynski

A question of member of Mathoverflow:

In this question the norm of $L^{P}[0,1]$ is denoted by $\|.\|_p$.

Let $p$ and $q$ be two arbitrary real numbers with $2.

> Assume that $S$ is  a subvector space of $L^{p}[0, 1] \bigcap L^{q}[0, 1]$ such that the identity operator $\text{Id.}: (S, \|.\|_p) \to (S, \|.\|_q)$ is a bounded operator.  Does this implies that $S$ is  a finite dimensional space?

If I am note mistaken, this is proved for $p=2, q=\infty$, by Grothendieck.

The answer of Bill Johnson on MO:

In fact, Kadec and Pelczynski proved that   a subspace of $L_p$, $2<p<\infty$, is closed in $L_r$ for some $r if and only if the subspace is isomorphic to a Hilbert space.

Kadec, M. I.; Pełczyński, A. Bases, lacunary sequences and complemented subspaces in the spaces Lp. Studia Math. 21 1961/1962 161–176.

Posted in Analysis and Optimization, Reading-writing

## Minimizing by Ekeland’s Variational Principle.

Minimizing by Ekeland’s Variational Principle.

Motivation of Ekeland’s paper “On the variational principle.” JMAA, 47. (1974). If $f$ is a continous function on $\mathbb{R}^n$ or Banach space $X$ or complete Riemannian manifold $\overline{M}$ and $f$ has not minimum (of course $f$ is bounded below) then we can choose a sequence $(x_n)$ such that $f(x_n)$ is “near” to the infimum of $f$.

We provide following Ekeland’s theorem with $X$ is complete metric space

Theorem (Ekeland’s Variational Principle).  Let $X$ be a complete metric space and $F: X \to \mathbb{R} \cup \{+\infty\}$ a lower semi continous function, $\ne +\infty$, bounded from below. For every point $u \in X$ satisfying $\inf F \le F(u) \le \inf F + \epsilon$ and every $\lambda > 0$, there exists some point $v \in X$ such that

$F(v) \le F(u)$,

$d(u,v) \le \lambda$,

$\forall w \ne v, F(w) > F(v) - (\epsilon/\lambda)d(v,w)$.

In part 5 of the paper, the author states an interesting result on complete Riemannian manifold

Proposition. Let $F$ be a $C^1$ function on a complete Riemannian manifold $\overline{M}$. If $F$ bounded from below, then, for every $\epsilon \ge 0$, there exists some point $p_\epsilon \in \overline{M}$ such that

$F(p_\epsilon) \le \inf F + \epsilon^2$,

$\|gradF(p_\epsilon)\|_{p_\epsilon} \le \epsilon$.

Conclusion. $p_\epsilon$ is the sequence of minimizer.

Posted in Analysis and Optimization, Reading-writing

## Minimizers – 01, a variational inequality

To minimize a differentiable function, we usually know it’s gradient. Consider the function $f \in C^1(K)$ with $K$ be a closed convex set. Let $F(x)$ be gradient of $f$, we have:

Prop: Suppose there exists an $x \in K$ such that $f(x) = \min\limits_{y \in K} f(y)$.

Then $x$ is a solution of the variational inequality $x \in K: (F(x), y-x) \ge 0$ for $y \in K$.

Proof.

$\varphi(t) = f(x + t(y-x)), 0 \le t \le 1$. Minimum at $x$ implies $t=0$. Therefore $\varphi'(0) = 0$, so  $\varphi'(0) = (gradf,y-x)$, we have $(gradf,y-x) \ge 0$ since $\varphi'(0) = (gradf,y-x)$.

Posted in Analysis and Optimization, Learning

## Tính tích phân suy rộng $latex \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx$

Tính tích phân suy rộng $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx$:

Để tính tích phân suy rộng này, ta lại đi tính tích phân sau: $\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(x^2+y^2)} dxdy$. Chú ý là $\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(x^2+y^2)} dxdy = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx \cdot \int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-y^2}dy$ hay $= (\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx)^2$ (1)

Trước hết, ta tính tích phân $\int\limits_{B_R}\int e^{-(x^2+y^2)} dxdy$ với $B_R = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | x^2 + y^2 \le R^2\}$.

Đổi biến theo tọa độ cực tích phân trên: $x = r\cos\varphi, y = r\sin\varphi$, khi đó miền tính tích phân là $B_R = \{(r,\varphi) | 0 \le r \le R, 0 \le \varphi \le 2\pi\}$, và Jacobian $Jac = r$, từ đó có:

$\int\limits_{B_R}\int e^{-(x^2+y^2)} dxdy = \int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi\int\limits_{0}^{R}r.e^{-r^2}dr = \pi(1 - e^{-R^2})$.

Do đó $\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(x^2+y^2)} dxdy = \lim_{R \to \infty}\int\limits_{B_R}\int e^{-(x^2+y^2)} dxdy$

$= \lim_{R \to \infty}\pi(1 - e^{-R^2}) = \pi$.(2)

Từ (1) và (2) suy ra:  $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$

Posted in Analysis and Optimization, Calculus

## Đổi biến trong tích phân hàm nhiều biến

Đổi biến trong tính tích phân xác định hàm một biến:

Công thức như sau:

Giả sử $\varphi(t)$ là hàm liên tục trên $[\alpha,\beta]$$\varphi(\alpha) = a, \varphi(\beta) = b$$\varphi$ có đạo hàm liên tục $\varphi'(t)$ trên đoạn $[\alpha,\beta]$.

Chứng minh

Giả sử $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(t)$ trong $[a,b]$, tức là $F'(x) = f(x)$. Đặt $\Phi(t) = F(\varphi(t))$ khi đó $\Phi'(t) = (F\circ\varphi)'(t) = F'[\varphi(t)].\varphi'(t) = f[\varphi(t)].\varphi'(t)$. Do đó $\Phi(t)$ là nguyên hàm của $f[\varphi(t)].\varphi'(t)$. Suy ra:

$\int_{\alpha}^{\beta}f[\varphi(t)]\varphi'(t)dt = \Phi(\beta) - \Phi(\alpha) = F(\varphi(\beta)) - F(\varphi(\alpha))$

$= F(b) - F(a) = \int_{a}^{b}f(x)dx.$

Đối biến trong tính tích phân xác định hàm nhiều biến:

Xét phép đổi biến sau: $(v_1, \dots , v_n) = \varphi(u_1, \dots , u_n)$, với $\varphi$ là ánh xạ 1-1 và khả vi liên tục. Khi đó, vi phân của chúng là:

$dv_1\cdots dv_n = |\det({D}_\varphi)(u_1, \ldots, u_n)| \, du_1\cdots du_n$

Định lý đổi biến tích phân: Lấy $U, V$ là các tập mở trong $\mathbb{R}^n$$\varphi : U \to V$ ánh xạ đơn ánh, khả vi với các đạo hàm riêng liên tục, Jacobian khác $0$ tại mọi $x \in U$. Khi đó với mọi hàm thực có giá compact, liên tục với giá chứa trong $\varphi(U)$ thì

$\int_{\varphi(U)} f(\mathbf{v})\, d \mathbf{v} = \int_U f(\varphi(\mathbf{u})) \left|\det({D}_\varphi)(\mathbf{u})\right| \,d \mathbf{u}.$

Viết rõ ra: $\int\limits_{\varphi(U)} f(\mathbf{v})dv_1\cdots dv_n = \int\limits_U f(\varphi(\mathbf{u})) |\det({D}_\varphi)(\mathbf{u})|du_1 \dots du_n.$

Posted in Analysis and Optimization

## Tập lồi

Tập lồi: Là một trường hợp riêng của tập affine và là trường hợp chính trong giải tích lồi, tập lồi là những tập hợp con của $\mathbb{R}^n$ thỏa mãn: $\forall x, y \in C$ thì $(1-\lambda)x + \lambda y \in C, 0 \le \lambda \le 1$.

Ellipsoid và lập phương là những tập lồi nhưng ko phải là tập affine.

Nửa không gian: Có 4 kiểu tương ứng với 4 dấu:

Đây là một kiểu $\{x | \langle x, b \rangle < \beta\}$.

Ta có thể thay một nửa kg như thế bằng $\lambda b$$\lambda\beta$. Từ đó thấy là những tập hợp này phụ thuộc vào siêu phẳng $H = \{x | \langle x,b \rangle = \beta \}$.

Có thể nói một cách (ko rõ ràng) là cho một nửa không gian mở hoặc đóng cũng chính là cho một siêu phẳng tương ứng.

Tập lồi đa diện: Một tập hợp mà có thể phân tích thành giao hữu hạn các nửa không gian đóng của $\mathbb{R}^n$ thì đgl tập lồi đa diện (polyhedra).

Tổ hợp lồi: Cho $m$ điểm $x_1, ..., x_m$. Tổ hợp lồi của $m$ điểm này là tập $\lambda_1 x_1 + ... + \lambda_m x_m$ trong đó $\lambda_1 + ... + \lambda_m = 1$$\lambda_i \ge 0$.

Đặc trưng cho tập lồi:

ĐL: Tập $C$ là lồi nếu và chỉ nếu $C$ chứa tất cả các tổ hợp tuyến tính của các phần tử thuộc nó.

Proof.

Giá sử $C = \{\lambda_1 x_1 + ... + \lambda_m x_m , \sum \lambda_i =1, x_i \in C, \lambda_i \ge 0 \}$. Ta cm đây là một tập lồi.

Thật vậy, với $x, y \in C$. Ta có $x = \sum\alpha_i x_i, y = \sum\beta_j y_j$. Như trên, chỉ cần đánh số lại thì ta có được tổ hợp $\sum\alpha_k x_k$ với$x_1,…, x_m$ như cũ và $x_{k+1} = y_1, ..., x_{k+s} = y_s$. Phần tử như thế thuộc vào $C$$\sum(1-\lambda)\alpha_i + \sum\lambda\beta_j = (1 - \lambda)\sum\alpha_i + \lambda\sum\beta_j = (1 - \lambda) + \lambda = 1$.

Còn lại chỉ cần cm nếu $C$ lồi thì $C$ sẽ chứa các tổ hợp tuyến tính của các phần tử thuộc nó. Thật vậy, ta sẽ chứng minh $\sum_1^m\lambda_i x_i \in C$ với mọi $m$ bằng qui nạp.

Với $m = 2$ thì hiển nhiên là $(1 - \lambda)x + \lambda y \in C$. Ta giả sử điều trên đúng với $m-1$. Xét phần tử $x = \lambda_1 x_1 + \dots + \lambda_m x_m$. và phần tử $y = \lambda'_1 x_2 + \dots + \lambda'_m x_m$ với $\lambda'_i = \dfrac{\lambda_i}{1 - \lambda_1}, i = 2, \dots, m$ (giả sử $\lambda_1 \ne 1$ nếu không thì thay nó bằng $\lambda_j$ khác không bằng $1$).

Dễ thấy $\sum_2^m \dfrac{\lambda'_i}{1 - \lambda_1} = 1$ cho nên từ giả thiết qui nạp $y \in C$. Từ đó $x = (1 - \lambda_1)y + \lambda_1 x_1 \in C$ (đpcm).