Thể tích hình cầu n chiều – II

Bài này tiếp nối bài “Tính thể tích hình cầu n chiều – I”. Trong bài thứ nhất, ta đã định nghĩa và trình bày cách tính hình cầu với phương pháp tính tích phân và đổi biến thông thường. Giờ đây ta sẽ trình bày tiếp 2 phương pháp nữa. Trong đó phương pháp của Lasserre theo chúng tôi là thú vị hơn cả. Vừa ngắn gọn lại dùng biến đổi Laplace. Xin trình bày 2 phương pháp tiếp theo.

Abstract. Trong tài liệu này chúng tôi trình bày một số phương pháp tính thể tích hình cầu n chiều, trong đó kiến thức chỉ dùng Giải tích 1+2 và liên quan đến hàm Gamma và biến đổi Laplace học trong chương trình Toán kỹ thuật của Học viện CNBCVT.

3. Phương pháp 2

Ta có {\mathbb{R}^n = \mathbb{R}^{n-1}\times \mathbb{R}}. Khi đó

\displaystyle V_n(R) = \int_{B_n(R)}dx_1dx_2\dots dx_n

\displaystyle = \int_{B_1(R)}\bigg( \int_{B_{n-1}(\sqrt{R^2 - x_n^2})}dx_1 \dots dx_{n-1} \bigg) dx_n,

bằng quy nạp, ta được

\displaystyle = \frac{\pi^{(n-1)/2}}{\Gamma(\frac{n-1}{2} + 1)}\int_{-R}^{R}(R^2 - x_n^2)^{(n-1)/2}dx_n

\displaystyle = \frac{2\pi^{(n-1)/2}}{\Gamma(\frac{n + 1}{2})}\int_{0}^{R}(R^2 - x_n^2)^{(n-1)/2}dx_n,

đặt {x_n = R\sqrt{t}}, ta có

\displaystyle = \frac{2\pi^{(n-1)/2}}{\Gamma(\frac{n + 1}{2})}\frac{R^n}{2}\int_{0}^{1}(1 - t)^{(n-1)/2}t^{-1/2}dt

\displaystyle = R^n\frac{\pi^{(n-1)/2}}{\Gamma(\frac{n + 1}{2})}B(\frac{n+1}{2}, \frac{1}{2})

\displaystyle = R^n\frac{\pi^{(n-1)/2}}{\Gamma(\frac{n + 1}{2})}\frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})\Gamma(\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{n}{2} + 1)}

Từ {\Gamma(\frac{1}{2}) = \pi^{1/2}}, ta được

\displaystyle V_n(R) = \dfrac{\pi^{n/2}R^n}{\Gamma(\frac{n}{2} + 1)}.

4. Phương pháp 3 (theo Lasserre)

Phương pháp của Lasserre là xét một hàm tích phân, sau đó dùng biến đổi Laplace để đưa ra công thức của Định lý chính. Phương pháp này như sau (xem \cite{Lasserre}).

Xét hàm {f : \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+},

\displaystyle y \mapsto f(y) := \int_{\|x\|^2 \le y}dx.

Hàm này chính là hàm tính thể tích của hình cầu bán kính {\sqrt{y}}. Xét phép biến đổi Laplace {F : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}} xác định như sau:

\displaystyle z \mapsto F(z) := \int_0^{\infty}e^{-zy}f(y)dy, z \in \mathbb{C}, Re(z) > 0.

Khi đó

\displaystyle F(z) = \int_0^{\infty} e^{-zy}\big[\int_{\|x\|^2 \le y}dx \big]dy

{= \int_{\mathbb{R}^n}\bigg[ \int_{\|x\|^2}^{\infty}e^{-zy}dy \bigg]dx} {= z^{-1}\int_{\mathbb{R}^n}e^{-z\|x\|^2}dx} {= z^{-1}\prod_{i=1}^n \int_{-\infty}^{\infty} e^{-zx_i^2}dx_i}

\displaystyle = z^{-1}[\pi/z]^{n/2} = z^{-n/2-1}\pi^{n/2} = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2 + 1)}\cdot\frac{\Gamma(n/2 + 1)}{z^{n/2+1}}.

Ta thấy {\frac{\Gamma(n/2 + 1)}{z^{n/2+1}}} chính là biến đổi Laplace của {y^{n/2}}, tức là

\displaystyle \frac{\Gamma(n/2 + 1)}{z^{n/2+1}} = \mathcal{L}(y^{n/2}).

Từ đó ta có

\displaystyle f(y) = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2 + 1)}y^{n/2}.

Kết luận cuối cùng đúng đắn vì tính tuyến tính và tính duy nhất của biến đổi Laplace:

\displaystyle \mathcal{L}(f) = \mathcal{L}(g) \Rightarrow f = g.

Định lý được chứng minh.

Hệ quả.  Với R > 0 thì

\lim_{n \to \infty}V_n(R) = 0.

Vậy số chiều càng lớn thì thế giới càng nhỏ :))

Tài liệu tham khảo

  1. T. M. Apostol, Calculus, Volume 2, second edition, Wiley, 1969.
  2. D. J. Smith and M. K. Vamanamurthy, How small is a Unit ball?, Mathematics Magazine, Vol. 62, No. 2 (1989), 101-107.
  3. J. B. Lasserre, A Quick proof for the Volume of n-Balls, The American Mathematical Monthly, Vol. 108, No. 8 (2001), p. 768-769.

Thể tích hình cầu n chiều – I

Abstract. Trong tài liệu này chúng tôi trình bày một số phương pháp tính thể tích hình cầu n chiều, trong đó kiến thức chỉ dùng Giải tích 1+2 và liên quan đến hàm Gamma và biến đổi Laplace học trong chương trình Toán kỹ thuật của Học viện CNBCVT.

1. Giới thiệu

Trong các đối tượng hình học thì hình cầu luôn là một đối tượng đặc biệt. Đó là một tập đóng và bị chặn, tức là trong không gian Euclid {\mathbb{R}^n} thì hình cầu {B_n} là một tập compact.

Definition 1 Tập hợp

\displaystyle B_n(R) := \{(x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n| x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2 \le R^2\},

trong đó {R} là một số thực không âm, được gọi là hình cầu bán kính {R} trong không gian Euclid {\mathbb{R}^n, n \ge 1}.

Example 1 \quad

  1. {n=1} thì {B_1(R)} là đoạn {[-R; R]}.
  2. {n=2} thì {B_2(R)} là hình tròn tâm {O(0;0)} bán kính {R}:

    \displaystyle B_2(R) := \{(x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2| x_1^2 + x_2^2 \le R^2\}.

  3. {n=3} thì {B_3(R)} là hình cầu (ball) tâm {O(0;0;0)} bán kính {R}:

    \displaystyle B_3(R) := \{(x_1, x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3| x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 \le R^2\}.

Ta có bài toán cơ bản sau:  Tính thể tích của hình cầu {B_n(R)}.

Ta có kết quả sau:

Theorem 2 Thể tích của hình cầu {n} chiều, bán kính {R} được tính theo công thức sau đây

\displaystyle V_n(R) = \dfrac{\pi^{n/2}R^n}{\Gamma(\frac{n}{2} + 1)}.

Trước hết, ta trình bày 2 phương pháp chứng minh định lý trên theo cách cổ điển thường thấy trong một số tài liệu về Giải tích các hàm nhiều biến. Chẳng hạn, xem [1, 2].

2. Phương pháp 1

Ta có {\mathbb{R}^n = \mathbb{R}^{n-2}\times \mathbb{R}^2}. Khi đó {(x_1, \dots, x_n) \in B_n(R)} nếu và chỉ nếu

\displaystyle x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_{n-2}^2 + x_{n-1}^2 + x_n^2 \le R^2,

tức là tương đương

\displaystyle x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_{n-2}^2 \le R^2 - x_{n-1}^2 - x_n^2.

Vì vậy

\displaystyle V_n(R) = \int_{B_n(R)} dx_1dx_2\dots dx_n

\displaystyle = \int_{B_2(R)}\bigg( \int_{B_{n-2}(\sqrt{R^2 - x_{n-1}^2 - x_n^2})}dx_1 \dots dx_{n-2} \bigg) dx_{n-1}dx_n, .

Bằng quy nạp, ta có:

\displaystyle V_n(R) = \frac{\pi^{(n-2)/2}}{\Gamma(\frac{n-2}{2} + 1)}\int_{B_2(R)}(R^2 - x_{n-1}^2 - x_n^2)^{(n-2)/2}dx_{n-1}dx_n.

Sử dụng tọa độ cực, ta có được kết quả

\displaystyle \frac{\pi^{(n-2)/2}}{\Gamma(\frac{n}{2})}\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{R}(R^2 - t^2)^{(n-2)/2}tdt = \frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2})}\cdot\frac{R^n}{n} = \dfrac{\pi^{n/2}R^n}{\Gamma(\frac{n}{2} + 1)}.

Tài liệu tham khảo

  1. T. M. Apostol, Calculus, Volume 2, second edition, Wiley, 1969.
  2. D. J. Smith and M. K. Vamanamurthy, How small is a Unit ball?, Mathematics Magazine, Vol. 62, No. 2 (1989), 101-107.

Bảng điểm thành phần môn Toán kỹ thuật nhóm 3 và 4, D17

Các bạn vào xem Bảng điểm thành phần môn Toán kỹ thuật nhóm 3 và nhóm 4:

Update: 

  • 21h50, 09/12: Bổ sung Phạm Đức Duy nhập thiếu bài kiểm tra thứ hai.

DungHP-Diem thanh phan Toan ky thuat Nhom 3+4

Bảng điểm này là bảng điểm đã có cộng trừ: một dấu + thì được cộng 2 điểm, ngược lại một dấu – sẽ bị trừ 2 điểm. Chuyên cần vắng 1 buổi trừ 2, 5 buổi là 0 điểm.

Một số bạn lên bảng nhiều (khoảng 4 lần trở lên) thì được cộng full.

Mọi thắc mắc gửi về mail hpdung83@gmail.com – hạn cuối: trước 24h00 ngày 10/12/2018. Sau thời gian trên, bảng điểm sẽ được gửi lên trường.

Best.

Introduction to Time Series – Berkeley

Stat 153, Fall 2010:

Introduction to Time Series

https://www.stat.berkeley.edu/~bartlett/courses/153-fall2010/


People

Office hours
Instructor Peter Bartlett bartlett@stat Evans 399, Tue 11-12, Thu 10-11.
GSI Joe Neeman jneeman@stat Evans 387, Mon 3-4, Wed 5-6.

Lectures:  Cory 241. Tuesday/Thursday 12:30 – 2:00.

Classroom and Computer Lab Section:  Evans 344. Friday 9-11.

Course Outline:

An introduction to time series analysis in the time domain and frequency domain. Topics will include: Stationarity, autocorrelation functions, autoregressive moving average models, partial autocorrelation functions, forecasting, seasonal ARIMA models, power spectra, discrete Fourier transform, parametric spectral estimation, nonparametric spectral estimation.

Text:

Time Series Analysis and its Applications. With R Examples., by Robert H. Shumway and David S. Stoffer. Springer. 2nd Edition. 2006. web site.

Prerequisites:

101, 134 or consent of instructor.

Assessment:

Lab/Homework Assignments (25%): posted every one to two weeks, and due on Fridays at 9 (at the start of the section). The grade will be the average of all homework grades except the worst.
Midterm Exams (30%): scheduled for October 7 and November 9, at the usual lecture time and place. Midterm 1: pdf Solutions: pdf. Midterm 2: pdf Solutions: pdf.
Project (10%).
Final Exam (35%): scheduled for Friday 12/17/10.

Lab/Homework Assignments:

Lectures:

Chapter/section references are to Shumway and Stoffer.

  • Thu, Aug 26. Overview, Chapter 1 (+2.3). slides: pdf.
  • Tue, Aug 31. Section 1.5. slides: pdf.
  • Thu, Sep 2. Section 1.6. slides: pdf.
  • Tue, Sep 7. Section 1.6 (+A.1,A.2). slides: pdf.
  • Thu, Sep 9. Section 3.2. slides: pdf.
  • Tue, Sep 14. Section 3.2, 3.3, 3.4. slides: pdf.
  • Thu, Sep 16. Section 3.3, 3.4, 3.5. slides: pdf.
  • Tue, Sep 21. Section 3.4, 3.5. slides: pdf.
  • Thu, Sep 23. Section 3.4, 3.5. slides: pdf.
  • Tue, Sep 28. Section 3.5. slides: pdf.
  • Thu, Sep 30. Section 3.6. slides: pdf.
  • Tue, Oct 5. Review. [Joe Neeman]
  • Thu, Oct 7. Midterm Exam 1.
  • Tue, Oct 12. Section 3.6. slides: pdf.
  • Thu, Oct 14. Section 3.6-3.9. slides: pdf.
  • Tue, Oct 19. Section 3.9. slides: pdf.
  • Thu, Oct 21. Section 4.1-4.3. slides: pdf.
  • Tue, Oct 26. Section 4.3. slides: pdf.
  • Thu, Oct 28. Section 4.3, 4.7. slides: pdf. (This book attributes the name `pole’ to the shape of the graph of a rational function.)
  • Tue, Nov 2. Section 4.7, 4.4. slides: pdf.
  • Thu, Nov 4. Section 4.4. slides: pdf.
  • Tue, Nov 9. Midterm Exam 2.
  • Thu, Nov 11. UC Holiday.
  • Tue, Nov 16. Section 4.4, 4.5. slides: pdf.
  • Thu, Nov 18. Section 4.5 slides: pdf.
  • Tue, Nov 23. Section 4.5, 4.8. slides: pdf.
  • Thu, Nov 25. Thanksgiving holiday.
  • Tue, Nov 30. Section 1.5, 1.6, 5.6, 4.6, 4.10. slides: pdf.
  • Thu, Dec 2. Review. slides: pdf.

Announcements:

  • Thursday, December 2: The final exam will be open book. There will be five questions. You may answer all five if you wish. Your grade will consist of the total from the best four questions.
    Here are some review questions from Shumway and Stoffer for the material since the second mid-term: 1.12, 1.13, 4.16, 4.18a, 4.32, 4.33.
    Partial solutions (to 1.12-4.18a): pdf
  • Tuesday, November 16: Homework 5’s due date has been extended to 11am on Tuesday, November 23, 2010, in 399 Evans.
  • Wednesday, November 3: Homework 5 has been posted. It is due at 9am on Friday, November 19, 2010, in 344 Evans.
    The second mid-term exam will cover all material up to and including the lecture on Tuesday, November 2. There will be 3 questions. You should answer all questions. Each part of each question will have a percentage written next to it – the percentage of the grade that it constitutes.
    Here are some review questions from Shumway and Stoffer for the material since the first mid-term: 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.6, 4.7, 4.21, 4.23, 4.24.
  • Thursday, October 28: Remember that the second mid-term exam will be in class (12:30-2:00) on Tuesday, November 9. Like the first mid-term, it will be an open-book exam: you can bring any material you like. Exam papers will be handed out at 12:40, the exam will go from 12:45 to 1:55.
  • Thursday, October 21: If you are looking for ideas for the project, there is a large collection of time series here.
  • Tuesday, October 19: Information about the project has been posted here. A one-paragraph proposal is due on Wednesday, November 3. Please email it to bartlett at stat.
  • Thursday, September 30: The first mid-term exam will cover all material up to and including today’s lecture. Here are some review questions from Shumway and Stoffer: 1.4, 1.5, 1.6, 1.9, 1.15, 1.16a, 2.6, 3.1, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6, 3.7, 3.8, 3.10, 3.11, 3.23a.
  • Monday, September 27: Remember that the first mid-term exam will be in class (12:30-2:00) on Thursday, October 7. It will be an open-book exam: you can bring any material you like. Exam papers will be handed out at 12:40, the exam will go from 12:45 to 1:55. There will be 6 questions. You may answer all six if you wish; your grade will consist of the total from the best five questions. Each part will have a percentage written next to it – the percentage of the grade that it constitutes. Please take notice of this. The percentages reflect the relative significance of the relevant material, not how much time it will take to answer the question.
  • Monday, August 30: Some R resources referred to in the first computer lab:
  • Tuesday, August 24: To sign up for computer accounts, you will need to obtain a form from Joe. At the first lab section, on this Friday, August 27, Joe will have these forms available, and will also present an introduction to R.

Collaboration:

You are encouraged to work in small groups on homework problems; it’s an excellent way to learn. However, you must write up the solutions on your own, and you must never read or copy the solutions of other students. Similarly, you may use books or online resources to help solve homework problems, but you must credit all such sources in your writeup and you must never copy material verbatim.

Academic Dishonesty:

Any student found to be cheating risks automatically failing the class and being referred to the Office of Student Conduct. In particular, copying solutions, in whole or in part, from other students in the class or any other source without acknowledgment constitutes cheating.