Directional derivative

In multivariable calculus, there is  a notion of derivative, that is directional derivative.

Directional derivative is special derivative, follows a vector.

Definition. Let U \subset \mathbb{R}^m and U is open set. Let f: U \to \mathbb{R}^n. Suppose a \in U. Given v \in \mathbb{R}^m with v \ne 0, the directional of f at a corresponding to v is:

Df_v(a) = \lim\limits_{t \to 0}\dfrac{f(a + tu) - f(a)}{t}, if the limit exists.

Another definition: The directional derivative of f at a \in U corresponding to v is Df(a)\cdot v.

Theorem. Two above definitions are equivalent.

 

Advertisements

Đổi biến trong tích phân hàm nhiều biến

Đổi biến trong tính tích phân xác định hàm một biến:

Công thức như sau:

Giả sử \varphi(t) là hàm liên tục trên [\alpha,\beta]\varphi(\alpha) = a, \varphi(\beta) = b\varphi có đạo hàm liên tục \varphi'(t) trên đoạn [\alpha,\beta].

Chứng minh

Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(t) trong [a,b], tức là F'(x) = f(x). Đặt \Phi(t) = F(\varphi(t)) khi đó \Phi'(t) = (F\circ\varphi)'(t) = F'[\varphi(t)].\varphi'(t) = f[\varphi(t)].\varphi'(t). Do đó \Phi(t) là nguyên hàm của f[\varphi(t)].\varphi'(t). Suy ra:

\int_{\alpha}^{\beta}f[\varphi(t)]\varphi'(t)dt = \Phi(\beta) - \Phi(\alpha) = F(\varphi(\beta)) - F(\varphi(\alpha))

= F(b) - F(a) = \int_{a}^{b}f(x)dx.

Đối biến trong tính tích phân xác định hàm nhiều biến:

Xét phép đổi biến sau: (v_1, \dots , v_n) = \varphi(u_1, \dots , u_n), với \varphi là ánh xạ 1-1 và khả vi liên tục. Khi đó, vi phân của chúng là:

dv_1\cdots dv_n = |\det({D}_\varphi)(u_1, \ldots, u_n)| \, du_1\cdots du_n

Định lý đổi biến tích phân: Lấy U, V là các tập mở trong \mathbb{R}^n\varphi : U \to V ánh xạ đơn ánh, khả vi với các đạo hàm riêng liên tục, Jacobian khác 0 tại mọi x \in U. Khi đó với mọi hàm thực có giá compact, liên tục với giá chứa trong \varphi(U) thì

\int_{\varphi(U)} f(\mathbf{v})\, d \mathbf{v} = \int_U f(\varphi(\mathbf{u})) \left|\det({D}_\varphi)(\mathbf{u})\right| \,d \mathbf{u}.

Viết rõ ra: \int\limits_{\varphi(U)} f(\mathbf{v})dv_1\cdots dv_n = \int\limits_U f(\varphi(\mathbf{u})) |\det({D}_\varphi)(\mathbf{u})|du_1 \dots du_n.

Bài tập về tính đạo hàm và viết pt tiếp tuyến.

Một số BT tính đạo hàm:

Bài 1. Tính đạo hàm của một số hàm số sau:

a. y=\dfrac{sinx - cosx}{sinx+cosx}.  b. y=\cos{\sqrt{x^3 + x^2 + x + 1}}.

c. y=\sqrt{\sin{2x}}.   d. y=\sqrt{\dfrac{1 - \sin x}{1+ \sin x}}.

Bài 2.

a. Cho hàm số: y=\dfrac{x-1}{x+1}. CMR: (x^2-1).y' - 2y =0.

b. Cho y=x.\sin{x}. CMR: xy - 2(y'-\sin x)+x.y''=0.

c. Cho y=\dfrac{1}{x-1}. Tính đạo hàm cấp n của hàm số này.

d. Cho y=(x+1)^3. Tính y^{(n)}.

Bài 3.

a. Cho hàm số y=x^3 + 3x^2 + 3. Tìm hai điểm trên đồ thị của hàm số này làm cho y'=0 và viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua hai điểm ấy.

b. Với giá trị nào của m thì đường thẳng y=mx-1 tiếp xúc với đồ thị của hàm số y=4x^3 - 3x.

BT liên quan phiếm hàm Minkowski

ĐN: Cho X là một kg tuyến tính thực. S là một tập con của X. Một điểm x_0 được gọi là điểm trong của S (Hoàng Tụy – điểm bọc) nếu với y bất kì thuộc X, tồn tại \epsilon, phụ thuộc vào y sao cho x_0+ t.y\in S với mọi t, |t|<\epsilon.

Cho tập K lồi và có một điểm trong, ta coi đó là gốc tọa độ. Một gauge của K là một hàm xác định như sau: p_K(x)=\inf{a} với a>0, \dfrac{x}{a}.

Vì gốc là điểm trong cho nên p_K(x)<\infty với mọi x.

BT: Cho tập K lồi. Chứng minh rằng: p_K(x)<1 iff x là một điểm trong của K.

Bài tập về hàm liên tục

Khi làm bài tập về xét hàm số liên tục. Các em chỉ cần nắm vững điều kiện liên tục của hàm số:

1. \lim\limits_{x \to x_0}f(x) = f(x_0).

2. \lim\limits_{x \to x_0^+}f(x) = \lim\limits_{x \to x_0^-}f(x) = f(x_0).

Thực ra hai điều kiện trên là một. Các em thử suy nghĩ xem vì sao nhé??

Bài tập.

Bài 1. a. Xét tính liên tục của hàm f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^4-1}{x+1} & when \ x \ne -1\\ -4 & when \ x = -1\end{cases} trên \mathbb{R}.

b. Xét tính liên tục của hàm số sau: f(x) = \begin{cases} \dfrac{(x - \sqrt{2x-1})(x-11)}{x^2 - 12x +11} & when \ x \ne 1\\ 0 & when \ x = 1\\ \frac{11}{10} & when \ x=11\end{cases} trên \mathbb{R}.

Bài 2. a. Tìm a để hàm số sau f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sqrt{1-\pi x}-\sqrt{1+x}}{x} & when \ x \ne 0\\ 2x^2+5ax - 5a & when \ x = 0\end{cases} liên tục tại x=0.

b. Xét tính liên tục của hàm số sau: f(x) = \begin{cases} 9x + \dfrac{|x|}{x} & when \ x \ne 0\\ 1 & when \ x = 0\end{cases} tại x_0 = 0.

Bài 3. a. Chứng minh rằng phương trình x^3 + x -1 =0 luôn có nghiệm trên \mathbb{R}. Hãy chỉ ra một khoảng chứa nghiệm đó.

b. Phương trình x^3 + x + 1 =0 có nghiệm trên \mathbb{R} hay không?

c. Chứng minh rằng phương trình (x^2+1)\cos x + 3x\sin x + 2 = 0 có nghiệm thuộc khoảng (0;\pi).

Bổ sung thêm về bài tập giới hạn dãy số

Các em lưu ý khi tính giới hạn dãy số. Điều cốt lõi là phải khử những lượng có khả năng tiến ra \infty.

Chú ý: Nếu nhân lượng liên hợp thì dùng các hằng đẳng thức:

a - b = (\sqrt a - \sqrt b)(\sqrt a + \sqrt b), a - b = (\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}).

Một định lý khá quan trọng:

Nếu |u_n| \le v_n\lim v_n = 0 thì \lim u_n = 0.

Chẳng hạn: \lim \dfrac{\cos 2n}{n^2} = ?.

Ta có: |\dfrac{\cos 2n}{n^2}| \le \dfrac{1}{n^2} và vì \lim \dfrac{1}{n^2} = 0 nên theo định lý trên thì: \dfrac{\cos 2n}{n^2} = 0.

Các em có thể xem một số ví dụ qua link sau:

http://www.thaygiaolang.com/forums/showthread.php?t=231

BÀI TẬP:

Bài 1. Tính các giới hạn:

a. \lim\dfrac{n^4}{(n+1)(2+n)(n^2 + 1)}.

b. \lim\dfrac{\sqrt{n^2+1} - 3n - 1}{-6n - \sqrt{n} + 1}.

c. \lim\dfrac{(3n -1 )(n^2 + 2)(-3n^3 - 1)}{(2n^2+1)^3}.

d. \lim\dfrac{n.\sqrt{1 + 3 + 5 + \dots + (2n+1)}}{3n^2 - n +1}.

e. \lim\dfrac{4^{n+1} + 7^{n+2}}{6^n + 9^n}.

Bài 2. Tính:

a. \lim\dfrac{1 - 2.3^n + 6^n}{2^n(3^{n+1} - 5)},

b. \lim\dfrac{1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{2^n}}{1 + \frac{3}{4} + \dots + (\frac{3}{4})^n},

c. \lim\dfrac{1 + 2 + 2^2 + \dots + 2^n}{1 + 3 + 3^2 + \dots + 3^n},

Bài 3. Tính:

a. \lim\dfrac{2\sin{n^2}}{n^2 + 3},

b. \lim{\sqrt{n^2 - n} - n},

c. \lim{\sqrt{n^2 + n} - \sqrt{n^2 + 1}},

d. \lim{\sqrt{n}(\sqrt{n+3} - \sqrt{n+1})},

e. \lim{\sqrt{n^2 + n + 2} - \sqrt{n+1}},