Posted in Analysis and Optimization, Calculus

## Directional derivative

In multivariable calculus, there is  a notion of derivative, that is directional derivative.

Directional derivative is special derivative, follows a vector.

Definition. Let $U \subset \mathbb{R}^m$ and $U$ is open set. Let $f: U \to \mathbb{R}^n$. Suppose $a \in U$. Given $v \in \mathbb{R}^m$ with $v \ne 0$, the directional of $f$ at $a$ corresponding to $v$ is:

$Df_v(a) = \lim\limits_{t \to 0}\dfrac{f(a + tu) - f(a)}{t},$ if the limit exists.

Another definition: The directional derivative of $f$ at $a \in U$ corresponding to $v$ is $Df(a)\cdot v$.

Theorem. Two above definitions are equivalent.

Posted in Analysis and Optimization, Calculus

## A nice list of articles of the Mean Value Theorem

A nice list (by John H. Mathews) of articles of various authors on the theme of extending the validity of the Mean Value Theorem to vector values function.

Source: http://mathoverflow.net/questions/80955/mean-value-theorem-for-operators?rq=1

Posted in Calculus

## An interesting integral: $latex \int_0^\infty e^{-6t}dt$

An interesting integral: $\int_0^\infty e^{-6t}dt$.

This is the problem on Mathematics of Stackexchange.com.

The solution of Dror helps us learn the following trick: $de^y = e^y.dy \Rightarrow dy = \dfrac{de^y}{e^y}$. So $\int_{-\infty}^xe^{y}dy=\int_{-\infty}^xde^{y}=e^x- \lim_{y \to -\infty}e^y=e^x-0=e^x$.

Dror’s solution:
So, by substituting $y=-6t$, we can use this propety. We calculate:
$dt=-\frac{1}{6}dy, 0 \to0,\infty \to - \infty$

The integral then becomes:
$\int_0^\infty e^{-6t}dt=\int_0^{-\infty}-\frac{1}{6}e^{y}dy=\frac{1}{6}\int_{-\infty}^0e^{y}dy=\frac{1}{6}*e^0=\frac{1}{6}*1=\frac{1}{6}$

Posted in Analysis and Optimization, Calculus

## Đổi biến trong tích phân hàm nhiều biến

Đổi biến trong tính tích phân xác định hàm một biến:

Công thức như sau:

Giả sử $\varphi(t)$ là hàm liên tục trên $[\alpha,\beta]$$\varphi(\alpha) = a, \varphi(\beta) = b$$\varphi$ có đạo hàm liên tục $\varphi'(t)$ trên đoạn $[\alpha,\beta]$.

Chứng minh

Giả sử $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(t)$ trong $[a,b]$, tức là $F'(x) = f(x)$. Đặt $\Phi(t) = F(\varphi(t))$ khi đó $\Phi'(t) = (F\circ\varphi)'(t) = F'[\varphi(t)].\varphi'(t) = f[\varphi(t)].\varphi'(t)$. Do đó $\Phi(t)$ là nguyên hàm của $f[\varphi(t)].\varphi'(t)$. Suy ra:

$\int_{\alpha}^{\beta}f[\varphi(t)]\varphi'(t)dt = \Phi(\beta) - \Phi(\alpha) = F(\varphi(\beta)) - F(\varphi(\alpha))$

$= F(b) - F(a) = \int_{a}^{b}f(x)dx.$

Đối biến trong tính tích phân xác định hàm nhiều biến:

Xét phép đổi biến sau: $(v_1, \dots , v_n) = \varphi(u_1, \dots , u_n)$, với $\varphi$ là ánh xạ 1-1 và khả vi liên tục. Khi đó, vi phân của chúng là:

$dv_1\cdots dv_n = |\det({D}_\varphi)(u_1, \ldots, u_n)| \, du_1\cdots du_n$

Định lý đổi biến tích phân: Lấy $U, V$ là các tập mở trong $\mathbb{R}^n$$\varphi : U \to V$ ánh xạ đơn ánh, khả vi với các đạo hàm riêng liên tục, Jacobian khác $0$ tại mọi $x \in U$. Khi đó với mọi hàm thực có giá compact, liên tục với giá chứa trong $\varphi(U)$ thì

$\int_{\varphi(U)} f(\mathbf{v})\, d \mathbf{v} = \int_U f(\varphi(\mathbf{u})) \left|\det({D}_\varphi)(\mathbf{u})\right| \,d \mathbf{u}.$

Viết rõ ra: $\int\limits_{\varphi(U)} f(\mathbf{v})dv_1\cdots dv_n = \int\limits_U f(\varphi(\mathbf{u})) |\det({D}_\varphi)(\mathbf{u})|du_1 \dots du_n.$

Posted in Calculus, Giải tích

## Bài tập về tính đạo hàm và viết pt tiếp tuyến.

Một số BT tính đạo hàm:

Bài 1. Tính đạo hàm của một số hàm số sau:

a. $y=\dfrac{sinx - cosx}{sinx+cosx}$.  b. $y=\cos{\sqrt{x^3 + x^2 + x + 1}}$.

c. $y=\sqrt{\sin{2x}}$.   d. $y=\sqrt{\dfrac{1 - \sin x}{1+ \sin x}}$.

Bài 2.

a. Cho hàm số: $y=\dfrac{x-1}{x+1}$. CMR: $(x^2-1).y' - 2y =0$.

b. Cho $y=x.\sin{x}$. CMR: $xy - 2(y'-\sin x)+x.y''=0$.

c. Cho $y=\dfrac{1}{x-1}$. Tính đạo hàm cấp $n$ của hàm số này.

d. Cho $y=(x+1)^3$. Tính $y^{(n)}$.

Bài 3.

a. Cho hàm số $y=x^3 + 3x^2 + 3$. Tìm hai điểm trên đồ thị của hàm số này làm cho $y'=0$ và viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua hai điểm ấy.

b. Với giá trị nào của $m$ thì đường thẳng $y=mx-1$ tiếp xúc với đồ thị của hàm số $y=4x^3 - 3x$.

Posted in 1, Undergraduate (Toán ĐH), Calculus

## BT liên quan phiếm hàm Minkowski

ĐN: Cho $X$ là một kg tuyến tính thực. $S$ là một tập con của $X$. Một điểm $x_0$ được gọi là điểm trong của $S$ (Hoàng Tụy – điểm bọc) nếu với $y$ bất kì thuộc $X$, tồn tại $\epsilon$, phụ thuộc vào $y$ sao cho $x_0+ t.y\in S$ với mọi $t, |t|<\epsilon$.

Cho tập $K$ lồi và có một điểm trong, ta coi đó là gốc tọa độ. Một gauge của $K$ là một hàm xác định như sau: $p_K(x)=\inf{a}$ với $a>0, \dfrac{x}{a}$.

Vì gốc là điểm trong cho nên $p_K(x)<\infty$ với mọi $x$.

BT: Cho tập $K$ lồi. Chứng minh rằng: $p_K(x)<1$ iff $x$ là một điểm trong của $K$.

Posted in Calculus, Giải tích

## Bài tập về hàm liên tục

Khi làm bài tập về xét hàm số liên tục. Các em chỉ cần nắm vững điều kiện liên tục của hàm số:

1. $\lim\limits_{x \to x_0}f(x) = f(x_0)$.

2. $\lim\limits_{x \to x_0^+}f(x) = \lim\limits_{x \to x_0^-}f(x) = f(x_0)$.

Thực ra hai điều kiện trên là một. Các em thử suy nghĩ xem vì sao nhé??

Bài tập.

Bài 1. a. Xét tính liên tục của hàm $f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^4-1}{x+1} & when \ x \ne -1\\ -4 & when \ x = -1\end{cases}$ trên $\mathbb{R}$.

b. Xét tính liên tục của hàm số sau: $f(x) = \begin{cases} \dfrac{(x - \sqrt{2x-1})(x-11)}{x^2 - 12x +11} & when \ x \ne 1\\ 0 & when \ x = 1\\ \frac{11}{10} & when \ x=11\end{cases}$ trên $\mathbb{R}$.

Bài 2. a. Tìm $a$ để hàm số sau $f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sqrt{1-\pi x}-\sqrt{1+x}}{x} & when \ x \ne 0\\ 2x^2+5ax - 5a & when \ x = 0\end{cases}$ liên tục tại $x=0$.

b. Xét tính liên tục của hàm số sau: $f(x) = \begin{cases} 9x + \dfrac{|x|}{x} & when \ x \ne 0\\ 1 & when \ x = 0\end{cases}$ tại $x_0 = 0$.

Bài 3. a. Chứng minh rằng phương trình $x^3 + x -1 =0$ luôn có nghiệm trên $\mathbb{R}$. Hãy chỉ ra một khoảng chứa nghiệm đó.

b. Phương trình $x^3 + x + 1 =0$ có nghiệm trên $\mathbb{R}$ hay không?

c. Chứng minh rằng phương trình $(x^2+1)\cos x + 3x\sin x + 2 = 0$ có nghiệm thuộc khoảng $(0;\pi)$.

Posted in 1, Undergraduate (Toán ĐH), Calculus

I have a question which relate adjoint space. That is: ” Is $C^*[0,1]$ linear isomorphism with $C[0,1]$?” $C[0,1]$ is space of continous function in $[0,1]$. If we choose inner product of $C[0,1]$ is $<,>: C[0,1] \longrightarrow\Bbb{R}$, by $=\int_0^1 f(x)g(x)dx$ then $C^*[0,1]$ $=$ $C[0,1]$ (linear isomorphism)?

Posted in Calculus

## Bổ sung thêm về bài tập giới hạn dãy số

Các em lưu ý khi tính giới hạn dãy số. Điều cốt lõi là phải khử những lượng có khả năng tiến ra $\infty$.

Chú ý: Nếu nhân lượng liên hợp thì dùng các hằng đẳng thức:

$a - b = (\sqrt a - \sqrt b)(\sqrt a + \sqrt b), a - b = (\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2})$.

Một định lý khá quan trọng:

Nếu $|u_n| \le v_n$$\lim v_n = 0$ thì $\lim u_n = 0$.

Chẳng hạn: $\lim \dfrac{\cos 2n}{n^2} = ?$.

Ta có: $|\dfrac{\cos 2n}{n^2}| \le \dfrac{1}{n^2}$ và vì $\lim \dfrac{1}{n^2} = 0$ nên theo định lý trên thì: $\dfrac{\cos 2n}{n^2} = 0$.

Các em có thể xem một số ví dụ qua link sau:

BÀI TẬP:

Bài 1. Tính các giới hạn:

a. $\lim\dfrac{n^4}{(n+1)(2+n)(n^2 + 1)}$.

b. $\lim\dfrac{\sqrt{n^2+1} - 3n - 1}{-6n - \sqrt{n} + 1}$.

c. $\lim\dfrac{(3n -1 )(n^2 + 2)(-3n^3 - 1)}{(2n^2+1)^3}$.

d. $\lim\dfrac{n.\sqrt{1 + 3 + 5 + \dots + (2n+1)}}{3n^2 - n +1}$.

e. $\lim\dfrac{4^{n+1} + 7^{n+2}}{6^n + 9^n}$.

Bài 2. Tính:

a. $\lim\dfrac{1 - 2.3^n + 6^n}{2^n(3^{n+1} - 5)}$,

b. $\lim\dfrac{1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{2^n}}{1 + \frac{3}{4} + \dots + (\frac{3}{4})^n}$,

c. $\lim\dfrac{1 + 2 + 2^2 + \dots + 2^n}{1 + 3 + 3^2 + \dots + 3^n}$,

Bài 3. Tính:

a. $\lim\dfrac{2\sin{n^2}}{n^2 + 3}$,

b. $\lim{\sqrt{n^2 - n} - n}$,

c. $\lim{\sqrt{n^2 + n} - \sqrt{n^2 + 1}}$,

d. $\lim{\sqrt{n}(\sqrt{n+3} - \sqrt{n+1})}$,

e. $\lim{\sqrt{n^2 + n + 2} - \sqrt{n+1}}$,