Sylvester’s Problem, Gallai’s Solution

(Để tạm đây)

Source: http://www.cut-the-knot.org/proofs/SylvesterGallai.shtml

The Sylvester Problem has been posed by James Joseph Sylvester in 1893 in Educational Times:

Let n given points have the property that the line joining any two of them passes through a third point of the set. Must the n points all lie on one line?

T. Gallai’s proof has been outlined by P. Erdös in his submission of the problem to The American Mathematical Monthly in 1943.

Solution

Given the set Π of noncollinear points, consider the set of lines Σ that pass through at least two points of Π. Such lines are said to be connecting. Among the connecting lines, those that pass through exactly two points of Π are called ordinary.

Choose any point p1Π. If p1 lies on an ordinary line we are done, so we may assume that p1 lies on no ordinary line. Project p1 to infinity and consider the set of connecting lines containing p1. These lines are all parallel to each other, and each contains p1 and at least two other points of Π. Any connecting line not through p1 forms an angle with the parallel lines; let s be a connecting line (not through p1) which forms the smallest such angle:

Gallai's proof of Sylvester's problem, part 1

Then s must be ordinary! For suppose s were to contain three (or more) points of Π, say, p2, p3, p4 named so that p3 is between p2 and p4:

Gallai's proof of Sylvester's problem, part 2

The connecting line through p3 and p1 (being not ordinary) would contain a third point of Π, say p5, and now either the line p2p5 or the line p4p5 would form a smaller angle with the parallel lines than does s.

References

  1. P. Borwein, W. O. J. Moser, A survey of Sylvester’s problem and its generalizations, Aequationes Mathematicae 40 (1990) 111 – 135
  2. P. Erdös, R. Steinberg, Problem 4065 [1943, 65], The American Mathematical Monthly, Vol. 51, No. 3 (Mar., 1944), pp. 169-171
  3. J. J. Sylvester, Educational Times, Mathematical Question 11851, vol. 59 (1893), p. 98
Advertisements

Một chú ý nhỏ khi viết phương trình đường thẳng trung trực của đoạn thẳng

Bài toán: Cho hai điểm A (1; 2), B (0 ; 1). Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Thông thường, các học sinh hay giải như sau:

Lời giải. Gọi I là trung điểm của AB, khi đó x_I = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{1}{2}, y_I = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{3}{2}
Do đường trung trực vuông góc với AB nên \overrightarrow{AB} = (-1; -1) là vector pháp tuyến, do đó phương trình đường thẳng trung trực của AB-1(x - \frac{1}{2}) -1(y - \frac{3}{2}) = 0 hay x + y - 2 = 0.\\

Tuy nhiên, ta có thể làm nhanh hơn như sau:\\

Lời giải 2.
Vì tính chất trung trực của AB, cứ M(x; y) nằm trên trung trực của AB thì MA = MB, do đó \sqrt{(x - 1)^2 + (y-2)^2} = \sqrt{x^2 + (y-1)^2}, rút gọn ta được  x + y - 2 = 0.

Bài tập về đơn điệu và tìm tiệm cận của hàm số

Yêu cầu: Để làm các bài tập dưới đây, cần xem lại tam thức bậc hai và định lý về điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến + giới hạn hàm số.

Bài I. Tìm m để:

1. Hàm số sau luôn đồng biến trên tập xác định của chúng:

a. y = 4x^3 + (m+3)x^2 +mx;

b. y=\dfrac{x^2 + mx -1}{x-1}.

2. Hàm số sau luôn nghịch biến trên tập xác định của chúng:

a. y=\dfrac{3x-1}{x-m}.

b. y= -\dfrac{x^3}{3} + (m-1)x^2 + (m+3)x-4.

Bài II. Tìm các tiệm cận của các đồ thị các hàm số sau:

1. y = \dfrac{x-1}{x+3}.                     2. y = \dfrac{x+2}{2x-1}.

3. y=\dfrac{2x+3}{5x-1}

Bài tập về hàm đơn điệu (2)

Hàm đơn điệu liên quan đến đạo hàm như thế nào?

Chú ý đến định lý sau là cơ sở để xét hàm tăng, hàm giảm bằng công cụ đạo hàm. Yêu cầu trước tiên các em ôn lại bảng xét dấu đã học ở lớp 10.

ĐL: Nếu f(x) là hàm xác định và có đạo hàm trên K.

a, Nếu f'(x) >0 với mọi x thuộc K thì f là hàm đồng biến (tăng) trên K.

b, Nếu f'(x) <0 với mọi x thuộc K thì f là hàm nghịch biến (giảm) trên K.

Trên đây, K là khoảng mở (a,b) hay khoảng đóng [a,b].

———

Bài tập:

Bài 1. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số:

a. y=x^3 - 2x^2 + x +2.

b. y = x^3 + 3x^2 + 3x + 7.

c. y = \dfrac{-3x + 4}{2x-1}.

d. y = \dfrac{x^2 - 3x + 6}{x-1}.

Bài 2. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số:

a. y = \dfrac{x^2 - x +4 }{x}.

b. y=\dfrac{-x^2 + 2x +1 }{x - 1}.

c. y = x^3 - 3x + 2.

Chú ý: Những bài tập trên đây đều là những bài tập phải xét dấu của đạo hàm, do đó các em hãy xem lại phần xét dấu ở sách lớp 10 nhé.

Bài tập về hàm đơn điệu (1)

ĐN: Cho hàm số f: D \to \mathbb R. Hàm số được gọi là đồng biến trên (a,b) \subset D nếu với mọi x_1, x_2 \in (a,b) sao cho x_1 > x_2 thì f(x_1) > f(x_2). Hàm đồng biến còn gọi là hàm tăng.

Cho hàm số f: D \to \mathbb R. Hàm số được gọi là nghịch biến trên (a,b) \subset D nếu với mọi x_1, x_2 \in (a,b) sao cho x_1 > x_2 thì f(x_1) < f(x_2). Hàm nghịch biến còn gọi là hàm giảm.

Phương pháp xem hàm số đồng/ nghịch biến: Để xem hàm số đồng biến hay nghịch biến trên một khoảng (a,b), ta lấy giá trị x_1,x_2 \in (a,b) sao cho x_1 > x_2 rồi xét hiệu f(x_1) - f(x_2), chú ý, dùng giả thiết x_1 - x_2 > 0.

——–

Bài tập:

Bài tập 1. Xét sự biến thiên của các hàm số:

a. y = 3x^2 - 6x + 5 trên (-\infty,1)(1, +\infty).

b. y = \sqrt{x^2 + 2x} + 2011 trên (-1, +\infty).

c. y = \sqrt{x^2 - 4x + 15} trên (-\infty,2)(2,+\infty).

d. y = \dfrac{\sqrt{x^2 - 1}}{x} trên (1, +\infty).

Bài 2.

a. Chứng minh rằng hàm số y = x^2 -2|x| + m-1 đồng biến trên (2,+\infty).

b. Chứng minh rằng hàm số: y = x^3 - 3x +2 nghịch biến trên (-1,1).

Bài 3.  Cho hàm số: y=2x^2 -3|x| +3.

  1. Vẽ đồ thị hàm số.
  2. Biện luận theo m số nghiệm của pt: 2x^2 - 3|x| + 3 = m.

Để làm bài 3, các em xem kiến thức trong sách Đại số 10. Bài này cần thiết.

Một cách chứng minh ngắn cho bất đẳng thức AM-GM

Bất đẳng thức AM-GM được phát biểu như sau:

\dfrac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} \ge \sqrt[n]{a_1a_2\dots a_n} với a_1, a_2, \dots, a_n (*)  là các số thực không âm bất kì.

Còn gọi là bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức AM-GM tổng quát có nhiều cách chưng minh rất độc đáo và ngắn gọn. Đây là một cách chứng minh của Kong-Ming-Chong (Malaysia) (trích báo toán học tuổi trẻ):

Trước hết, đặt T=\dfrac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n}, khi đó bất đẳng thức trên tương đương với T^n\ge a_1a_2\dots a_n.

Nếu a_1=a_2=...=a_n thì (*) trở thành đẳng thức, vì: T^n=T.T\dots T = a_1a_2\dots a_n.

Nếu a_1,a_2,...,a_n không bằng nhau thì phải có bất đẳng thức thực sự:

T^n > a_1a_2...a_n (1).

Ta chứng minh (1) bằng qui nạp.

Dễ thấy (1) đúng với n=2, tức là a_1 \ne a_2 \Rightarrow T^2 = (\dfrac{a_1+a_2}{2})^2>a_1a_2.

Giả sử (1) đúng với n-1 số không bằng nhau tất cả có trung bình cộng là T. Ta phải chứng minh (1) đúng với n.

Thật vậy, trong các số a_1, a_2, ... , a_n không bằng nhau tất cả phải có một số bé hơn T và một số lớn hơn T, giả sử là a_1a_2: a_1 < T < a_2. Do đó ta có (T-a_1)(a_2 - T)>0 hay là a_1 + a_2 - T > \dfrac{a_1a_2}{T} \ge 0. Ta xét n-1 số không âm sau đây: a_3,a_4,...,a_n,(a_1+a_2-T). Dễ thấy n-1 số nói trên không bằng nhau tất cả nên theo giả thiết quy nạp thì: T^{n-1} > a_3a_4...(a_1+a_2-T) > a_3a_4...a_n\dfrac{a_1a_2}{T}.

Vậy T^n > a_1a_2...a_n (đpcm).

Bài tập về tính đạo hàm và viết pt tiếp tuyến.

Một số BT tính đạo hàm:

Bài 1. Tính đạo hàm của một số hàm số sau:

a. y=\dfrac{sinx - cosx}{sinx+cosx}.  b. y=\cos{\sqrt{x^3 + x^2 + x + 1}}.

c. y=\sqrt{\sin{2x}}.   d. y=\sqrt{\dfrac{1 - \sin x}{1+ \sin x}}.

Bài 2.

a. Cho hàm số: y=\dfrac{x-1}{x+1}. CMR: (x^2-1).y' - 2y =0.

b. Cho y=x.\sin{x}. CMR: xy - 2(y'-\sin x)+x.y''=0.

c. Cho y=\dfrac{1}{x-1}. Tính đạo hàm cấp n của hàm số này.

d. Cho y=(x+1)^3. Tính y^{(n)}.

Bài 3.

a. Cho hàm số y=x^3 + 3x^2 + 3. Tìm hai điểm trên đồ thị của hàm số này làm cho y'=0 và viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua hai điểm ấy.

b. Với giá trị nào của m thì đường thẳng y=mx-1 tiếp xúc với đồ thị của hàm số y=4x^3 - 3x.