Một số bài tập khảo sát hàm số

Bài 1. Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau:

a. y=x^4 - 10x^2 + 9,                              b. y=x^4 - 4x^2 + 4.

c. y= x^4 - 4x^3+ 4x^2,                            d. y = x^4.

Advertisements

Bài tập về đơn điệu và tìm tiệm cận của hàm số

Yêu cầu: Để làm các bài tập dưới đây, cần xem lại tam thức bậc hai và định lý về điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến + giới hạn hàm số.

Bài I. Tìm m để:

1. Hàm số sau luôn đồng biến trên tập xác định của chúng:

a. y = 4x^3 + (m+3)x^2 +mx;

b. y=\dfrac{x^2 + mx -1}{x-1}.

2. Hàm số sau luôn nghịch biến trên tập xác định của chúng:

a. y=\dfrac{3x-1}{x-m}.

b. y= -\dfrac{x^3}{3} + (m-1)x^2 + (m+3)x-4.

Bài II. Tìm các tiệm cận của các đồ thị các hàm số sau:

1. y = \dfrac{x-1}{x+3}.                     2. y = \dfrac{x+2}{2x-1}.

3. y=\dfrac{2x+3}{5x-1}

Bài tập về hàm đơn điệu (2)

Hàm đơn điệu liên quan đến đạo hàm như thế nào?

Chú ý đến định lý sau là cơ sở để xét hàm tăng, hàm giảm bằng công cụ đạo hàm. Yêu cầu trước tiên các em ôn lại bảng xét dấu đã học ở lớp 10.

ĐL: Nếu f(x) là hàm xác định và có đạo hàm trên K.

a, Nếu f'(x) >0 với mọi x thuộc K thì f là hàm đồng biến (tăng) trên K.

b, Nếu f'(x) <0 với mọi x thuộc K thì f là hàm nghịch biến (giảm) trên K.

Trên đây, K là khoảng mở (a,b) hay khoảng đóng [a,b].

———

Bài tập:

Bài 1. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số:

a. y=x^3 - 2x^2 + x +2.

b. y = x^3 + 3x^2 + 3x + 7.

c. y = \dfrac{-3x + 4}{2x-1}.

d. y = \dfrac{x^2 - 3x + 6}{x-1}.

Bài 2. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số:

a. y = \dfrac{x^2 - x +4 }{x}.

b. y=\dfrac{-x^2 + 2x +1 }{x - 1}.

c. y = x^3 - 3x + 2.

Chú ý: Những bài tập trên đây đều là những bài tập phải xét dấu của đạo hàm, do đó các em hãy xem lại phần xét dấu ở sách lớp 10 nhé.

Bài tập về hàm đơn điệu (1)

ĐN: Cho hàm số f: D \to \mathbb R. Hàm số được gọi là đồng biến trên (a,b) \subset D nếu với mọi x_1, x_2 \in (a,b) sao cho x_1 > x_2 thì f(x_1) > f(x_2). Hàm đồng biến còn gọi là hàm tăng.

Cho hàm số f: D \to \mathbb R. Hàm số được gọi là nghịch biến trên (a,b) \subset D nếu với mọi x_1, x_2 \in (a,b) sao cho x_1 > x_2 thì f(x_1) < f(x_2). Hàm nghịch biến còn gọi là hàm giảm.

Phương pháp xem hàm số đồng/ nghịch biến: Để xem hàm số đồng biến hay nghịch biến trên một khoảng (a,b), ta lấy giá trị x_1,x_2 \in (a,b) sao cho x_1 > x_2 rồi xét hiệu f(x_1) - f(x_2), chú ý, dùng giả thiết x_1 - x_2 > 0.

——–

Bài tập:

Bài tập 1. Xét sự biến thiên của các hàm số:

a. y = 3x^2 - 6x + 5 trên (-\infty,1)(1, +\infty).

b. y = \sqrt{x^2 + 2x} + 2011 trên (-1, +\infty).

c. y = \sqrt{x^2 - 4x + 15} trên (-\infty,2)(2,+\infty).

d. y = \dfrac{\sqrt{x^2 - 1}}{x} trên (1, +\infty).

Bài 2.

a. Chứng minh rằng hàm số y = x^2 -2|x| + m-1 đồng biến trên (2,+\infty).

b. Chứng minh rằng hàm số: y = x^3 - 3x +2 nghịch biến trên (-1,1).

Bài 3.  Cho hàm số: y=2x^2 -3|x| +3.

  1. Vẽ đồ thị hàm số.
  2. Biện luận theo m số nghiệm của pt: 2x^2 - 3|x| + 3 = m.

Để làm bài 3, các em xem kiến thức trong sách Đại số 10. Bài này cần thiết.

Bài tập về tính đạo hàm và viết pt tiếp tuyến.

Một số BT tính đạo hàm:

Bài 1. Tính đạo hàm của một số hàm số sau:

a. y=\dfrac{sinx - cosx}{sinx+cosx}.  b. y=\cos{\sqrt{x^3 + x^2 + x + 1}}.

c. y=\sqrt{\sin{2x}}.   d. y=\sqrt{\dfrac{1 - \sin x}{1+ \sin x}}.

Bài 2.

a. Cho hàm số: y=\dfrac{x-1}{x+1}. CMR: (x^2-1).y' - 2y =0.

b. Cho y=x.\sin{x}. CMR: xy - 2(y'-\sin x)+x.y''=0.

c. Cho y=\dfrac{1}{x-1}. Tính đạo hàm cấp n của hàm số này.

d. Cho y=(x+1)^3. Tính y^{(n)}.

Bài 3.

a. Cho hàm số y=x^3 + 3x^2 + 3. Tìm hai điểm trên đồ thị của hàm số này làm cho y'=0 và viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua hai điểm ấy.

b. Với giá trị nào của m thì đường thẳng y=mx-1 tiếp xúc với đồ thị của hàm số y=4x^3 - 3x.

Bài tập về phép tính đạo hàm

Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau bằng các dùng định nghĩa:

a. x^2 - 3x tại x_0 = 2.

b. x^3 - 3x^2 + 3 tại x_0 = 1.

c. x^4 tại x_0 bất kì.

Bài 2. Cho parabol y=x^2 và hai điểm A(2;4), B(2 + \Delta x; 4 + \Delta y) trên parabol đó.

a. Tính hệ số góc của cát tuyến AB biết \Delta x lần lượt bằng 1; 0.1; 0.01.

b. Tính hệ số góc của tiếp tuyến của parabol đã cho tại điểm A.

Bài 3.

a. Tính đạo hàm của hàm số y=x.\sin 2x bằng định nghĩa.

b. Tính đạo hàm của hàm số f(x)=\begin{cases} \dfrac{\sin^2 x}{x} & khi x \ne 0\\ 0 & khi x=0\end{cases}.

c. Lập pt tiếp tuyến của đường cong sau:

y = \dfrac{-x^2 + 2x +1}{x-1} tại A(2;1).

Bài tập về hàm liên tục

Khi làm bài tập về xét hàm số liên tục. Các em chỉ cần nắm vững điều kiện liên tục của hàm số:

1. \lim\limits_{x \to x_0}f(x) = f(x_0).

2. \lim\limits_{x \to x_0^+}f(x) = \lim\limits_{x \to x_0^-}f(x) = f(x_0).

Thực ra hai điều kiện trên là một. Các em thử suy nghĩ xem vì sao nhé??

Bài tập.

Bài 1. a. Xét tính liên tục của hàm f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^4-1}{x+1} & when \ x \ne -1\\ -4 & when \ x = -1\end{cases} trên \mathbb{R}.

b. Xét tính liên tục của hàm số sau: f(x) = \begin{cases} \dfrac{(x - \sqrt{2x-1})(x-11)}{x^2 - 12x +11} & when \ x \ne 1\\ 0 & when \ x = 1\\ \frac{11}{10} & when \ x=11\end{cases} trên \mathbb{R}.

Bài 2. a. Tìm a để hàm số sau f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sqrt{1-\pi x}-\sqrt{1+x}}{x} & when \ x \ne 0\\ 2x^2+5ax - 5a & when \ x = 0\end{cases} liên tục tại x=0.

b. Xét tính liên tục của hàm số sau: f(x) = \begin{cases} 9x + \dfrac{|x|}{x} & when \ x \ne 0\\ 1 & when \ x = 0\end{cases} tại x_0 = 0.

Bài 3. a. Chứng minh rằng phương trình x^3 + x -1 =0 luôn có nghiệm trên \mathbb{R}. Hãy chỉ ra một khoảng chứa nghiệm đó.

b. Phương trình x^3 + x + 1 =0 có nghiệm trên \mathbb{R} hay không?

c. Chứng minh rằng phương trình (x^2+1)\cos x + 3x\sin x + 2 = 0 có nghiệm thuộc khoảng (0;\pi).

Bài tập về khử dạng vô định

Khi tính giới hạn hàm số, ta sẽ gặp những bài toán có dạng \infty - \infty, \dfrac{\infty}{\infty}, \dfrac{0}{0}, 0.\infty, 1^{\infty}. Đó là các dạng vô định. Để làm các kiểu bài tập này, các em phải biết cách khử chúng.

Yêu cầu: Nắm vững phần giới hạn hàm số, giới hạn một phía + các hằng đẳng thức.

Bài 1.

  1. \underset{x\to 1}{\lim}\dfrac{-2{{x}^{2}}+x+1}{{{x}^{2}}-4x+3}.
  2. \underset{x\to 2}{\lim}\dfrac{\sqrt{2x-1}-\sqrt{x+1}}{{{x}^{2}}-3x+2}.
  3. \underset{x\to 0}{\lim }\dfrac{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}}{x}.
  4. \underset{x\to 1}{\lim }\dfrac{\sqrt[3]{x+7}-\sqrt{x+3}}{{{x}^{2}}-3x+2}.

Bài 2.

  1. \underset{x\to 2}{\lim }\dfrac{\sqrt{x+7}-3}{{{x}^{2}}-4}.
  2. \underset{x\to -1}{ \lim }\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}+3}-2}{\sqrt[3]{x}+1}.
  3. \underset{x\to -\infty }{\lim }\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}+2x+3}+2x}{\sqrt{4{{x}^{2}}+2}-x+1}.

Một số dạng vô định có chứa lượng giác, ta chú ý giới hạn sau:

\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1.

Bài 3.

  1. \lim\limits_{x \to o}\dfrac{1 - \cos x}{x^2}.
  2. \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sin 2x}{\sin 5x}.
  3. \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sqrt{1+x^2} - \cos x}{x^2}.