Một chú ý nhỏ khi viết phương trình đường thẳng trung trực của đoạn thẳng

Bài toán: Cho hai điểm A (1; 2), B (0 ; 1). Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Thông thường, các học sinh hay giải như sau:

Lời giải. Gọi I là trung điểm của AB, khi đó x_I = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{1}{2}, y_I = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{3}{2}
Do đường trung trực vuông góc với AB nên \overrightarrow{AB} = (-1; -1) là vector pháp tuyến, do đó phương trình đường thẳng trung trực của AB-1(x - \frac{1}{2}) -1(y - \frac{3}{2}) = 0 hay x + y - 2 = 0.\\

Tuy nhiên, ta có thể làm nhanh hơn như sau:\\

Lời giải 2.
Vì tính chất trung trực của AB, cứ M(x; y) nằm trên trung trực của AB thì MA = MB, do đó \sqrt{(x - 1)^2 + (y-2)^2} = \sqrt{x^2 + (y-1)^2}, rút gọn ta được  x + y - 2 = 0.

Bài tập về hai mặt phẳng song song

Chú ý: Hai định lý Talet thuận và đảo (xem sách giáo khoa). Đặc biệt từ định lý Talet đảo ta có thể chứng minh hai mặt phẳng song song.

Bài 1. Cho hình chóp SABCD đáy là hình bình hành tâm O. Hai tam giác SAD và ABC đều cân tại A. Gọi AE, AF là các đường phân giác trong của ACD và SAB. CMR: EF // (SAD).

Hướng dẫn: Sử dụng định lý sau (học từ lớp 8): Trong tam giác ABC có AI phân giác, I nằm trên cạnh BC. Khi đó \dfrac{IB}{AB}= \dfrac{IC}{AC}. Từ đó áp dụng với các tam giác ACD và SAB ở trên + chú ý hai tam giác này cân.

Bài 2. Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình bình hành. E là trung điểm cạnh SC, (P) là mặt phẳng chuyển động luôn qua E và luôn song song với CD.
a.    CMR: (P) luôn đi qua một đường thẳng cố định.
b.    (P) cắt SD, SA, SB lần lượt tại F, I, K. Thiết diện EFIK là hình gì ?. Tại sao ?
c.    Tìm tập hợp giao điểm H của EK và FI khi K di động trên SB.

Hướng dẫn:

Câu a: Một đường thẳng CD song song với mp(P) thì nó phải song song với mp nằm trên (P), xem (P) cắt mp nào?

Câu b: Chú ý giao tuyến Sx của 2 mp (SAB) và (SCD), từ đó sẽ thấy tứ giác đó là hình gì.

Câu c: Dùng định lý 3 giao tuyến và chú ý giao tuyến của (SAD) và (SBC). Chú ý rằng trường hợp EK//BC thì có tồn tại giao điểm của EK và FI không?

Bài 3. Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Các mặt bên ABB’A’, ACC’A’ là hình vuông. Gọi I, J lần lượt là tâm các mặt bên đóvà O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC.
a.    CMR IJ // (ABC).
b.   Xác định thiết diện của lăng trụ với (IJO). CMR thiết diện là hình thang cân, tính diện tích thiết diện theo a.

Hướng dẫn: Câu a: Xét tam giác A’BC là xong. Câu b: Qua O kẻ đường thẳng song song với BC và nằm trong mp(ABC) là thấy ngay.

Cho h×nh chãp SABCD ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh t©m O. Gäi M, N lÇn l­ît lµ trung ®iÓm SA, CD.

Bài tập về đường thẳng song song với mặt phẳng

ĐN: Một đường thẳng và một mặt phẳng được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.

Tính chất:

  • Nếu một đường thẳng d không nằm trên mặt phẳng (\alpha) và song song với một đường thẳng a nào đó nằm trong (\alpha) thì đường thẳng d song song với mặt phẳng (\alpha).
  • Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (Q). Nếu mặt phẳng (P) đi qua a và cắt mặt phẳng (Q) thì giao tuyến của (P) và (Q) song song với a.
  • Nếu 2 mặt phẳng cắt nhau và cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng song song với đường thẳng đó.

Lưu ý các tính chất trên, các em vẽ cụ thể hình ra để hình dung.

Bài tập:

Bài 1. Cho tứ diện ABCD, G là trọng tâm tam giác ABD , M thuộc BC sao cho: MB = 2MC.CMR: GM // (ACD).

Bài 2. Cho 2 hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng.

a.    Gọi O và O’ là tâm của ABCD và ABEF. CMR: OO’ // (ADF) và OO’ // (BCE).

b.    Gọi M, N là 2 điểm lần lượt trên AE, BD sao cho: AE=3AM, BD=3BN. CMR: MN // (CDEF).

Bài 3. Cho hình chóp SABCD. M, N là 2 điểm trên AB, CD. (\alpha) là mặt phẳng qua MN và song song SA.

a.    Tìm các giao tuyến của (\alpha) với (SAB) và (SAC).
b.    Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (\alpha).
Bài 4.    Cho hình chóp SABCD. M, N là 2 điểm trên SB và CD. (P) là mặt phẳng qua MN và song song SC.
a. Tìm các giao tuyến của (P) với (SBC), (SCD) và (SAC).
b. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P).


Nu mt ®­ng th¼ng d kh«ng n»m trªn mỈt ph¼ng () vµ song song víi mt ®­ng th¼ng a nµo ® n»m trong () th× ®­ng th¼ng d song song víi mỈt ph¼ng ().

Bài tập về hai đường thẳng song song HHKG 11

1.    Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình thang với các cạnh đáy AB, CD (AB > CD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB.
a.    CMR: MN // CD. Tìm giao điểm P của SC và (ADN).
b.    Kéo dài AN và DP cắt nhau ở I. CMR: SI // AB // CD. Tứ giác SABI là hình gì ?
2.    Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình thang. Các cạnh đáy AD = a, BC = b. I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác SAD, SBC. Tìm giao tuyến của (ADJ) và (SBC), của (BCI) và (SAD).
3.    Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q là các điểm lần lượt trên BC, SC, SD, DA sao cho MN // SB, NP // CD, MQ // CD.
a.    CMR: PQ // SA.
b.    Gọi K là giao điểm của MN và PQ. CMR: SK // AD // BC.
4.    Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC, BC. Gọi K là một điểm trên cạnh BD với KB = 2KD.
a.    Xác định thiết diện của tứ diện với (IJK). CMR thiết diện là hình thang cân.
b.    Tính diện tích thiết diện theo a.

1. Cho tø diÖn ®Òu ABCD c¹nh a. Gäi I, J lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña AC, BC. Gäi K lµ mét ®iÓm trªn c¹nh BD víi KB = 2KD.

a. X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña tø diÖn víi (IJK). CMR thiÕt diÖn lµ h×nh thang c©n.

TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn theo a.

Một số bài tập tìm giao điểm của đường thẳng, mp và tìm thiết diện.

1.       Cho hình chóp SABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M là trung điểm SB, G là trọng tâm SAD.

a.       Tìm giao điểm I của GM với (ABCD). CMR: I ở trên đường thẳng CD và IC = 2ID.

b.      Tìm giao điểm J của (OMG) với AD. Tính JA/JD.

c.       Tìm giao điểm K của (OMG) với SA . Tính KA/KS.

2.      Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I, J là 2 điểm trên cạnh AD và SB.

  • a, Tìm các giao điểm K, L của IJ và DJ với mp(SAC).
    • b, AD cắt BC tại O, OJ cắt SC tại M. CMR: A, K, L, M thẳng hàng.

      3.      Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, I lần lượt là 3 điểm trên AD, CD, SO. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNI).

      4.      Cho hình chóp SABCD, M  SC; N, P lần lượt là trung điểm AB, AD. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng(MNP).

      5.      Cho hình chóp SABCD, trong SBC lấy điểm M, trong SCD lấy điểm N.

      a.       Tìm giao điểm của SC và (AMN).

      b.      Tìm thiết diện của hình chóp với (AMN).

      6.      Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm SB, G là trọng tâm SAD.

      a.       Tìm thiết diện của hình chóp với (CGM).

      b.      Tìm thiết diện của hình chóp với (AGM).

      7. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi E, F lần lượt là điểm đối xứng của B qua C và D; M là trung điểm AB. Tìm thiết diện của tứ diện với (MEF) và tính diện tích thiết diện đó.

      Một số bài tập hình học không gian

      1, Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. M là một điểm di động trên SC. (P) là một mặt phẳng chứa AM và song song với BD. Cắt SB, SD tại HK.
      Chứng Minh Rằng: \dfrac{SB}{SH} + \dfrac{SD}{SK} - \dfrac{SC}{SM} không đổi khi M thay đổi.

      2, Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC và tam giác ABD đều và có cạnh là a và  mp (ACD) vuông góc với mp (BCD). Tính thể tích tứ diện.

      3, Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B. Gọi M là trung điểm của A'C. H là hình chiếu vuông góc của A lên A'B. Cho A A' = AC = 2a, BC=a.

      a/ Chứng minh rằng các điểm A, B, C, M, H cùng nằm trên mặt cầu. Tính thể tích khối cầu đó?
      b/ Tính thể tích khối đa diện ABCMH.

      4, Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi Ax, By là hai nửa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và nằm về cùng một phía  đối với mặt phẳng (ABCD). Hai điểm MN lần lượt di động trên AxBy sao cho tam giác CMN vuông tại M. Đặt AM = m, BN = n. Chứng minh rằng m( n-m)=a^2 và tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích hình thang ABNM theo a.

      5, Tính thể tích khối tứ diện ABCD biết AB = a , AC = b , AD = c , và \hat{BAC} = \hat{CAD} = \hat{DAB} = 60^0.