Bài tập về hàm liên tục

Khi làm bài tập về xét hàm số liên tục. Các em chỉ cần nắm vững điều kiện liên tục của hàm số:

1. \lim\limits_{x \to x_0}f(x) = f(x_0).

2. \lim\limits_{x \to x_0^+}f(x) = \lim\limits_{x \to x_0^-}f(x) = f(x_0).

Thực ra hai điều kiện trên là một. Các em thử suy nghĩ xem vì sao nhé??

Bài tập.

Bài 1. a. Xét tính liên tục của hàm f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^4-1}{x+1} & when \ x \ne -1\\ -4 & when \ x = -1\end{cases} trên \mathbb{R}.

b. Xét tính liên tục của hàm số sau: f(x) = \begin{cases} \dfrac{(x - \sqrt{2x-1})(x-11)}{x^2 - 12x +11} & when \ x \ne 1\\ 0 & when \ x = 1\\ \frac{11}{10} & when \ x=11\end{cases} trên \mathbb{R}.

Bài 2. a. Tìm a để hàm số sau f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sqrt{1-\pi x}-\sqrt{1+x}}{x} & when \ x \ne 0\\ 2x^2+5ax - 5a & when \ x = 0\end{cases} liên tục tại x=0.

b. Xét tính liên tục của hàm số sau: f(x) = \begin{cases} 9x + \dfrac{|x|}{x} & when \ x \ne 0\\ 1 & when \ x = 0\end{cases} tại x_0 = 0.

Bài 3. a. Chứng minh rằng phương trình x^3 + x -1 =0 luôn có nghiệm trên \mathbb{R}. Hãy chỉ ra một khoảng chứa nghiệm đó.

b. Phương trình x^3 + x + 1 =0 có nghiệm trên \mathbb{R} hay không?

c. Chứng minh rằng phương trình (x^2+1)\cos x + 3x\sin x + 2 = 0 có nghiệm thuộc khoảng (0;\pi).

Bổ sung thêm về bài tập giới hạn dãy số

Các em lưu ý khi tính giới hạn dãy số. Điều cốt lõi là phải khử những lượng có khả năng tiến ra \infty.

Chú ý: Nếu nhân lượng liên hợp thì dùng các hằng đẳng thức:

a - b = (\sqrt a - \sqrt b)(\sqrt a + \sqrt b), a - b = (\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}).

Một định lý khá quan trọng:

Nếu |u_n| \le v_n\lim v_n = 0 thì \lim u_n = 0.

Chẳng hạn: \lim \dfrac{\cos 2n}{n^2} = ?.

Ta có: |\dfrac{\cos 2n}{n^2}| \le \dfrac{1}{n^2} và vì \lim \dfrac{1}{n^2} = 0 nên theo định lý trên thì: \dfrac{\cos 2n}{n^2} = 0.

Các em có thể xem một số ví dụ qua link sau:

http://www.thaygiaolang.com/forums/showthread.php?t=231

BÀI TẬP:

Bài 1. Tính các giới hạn:

a. \lim\dfrac{n^4}{(n+1)(2+n)(n^2 + 1)}.

b. \lim\dfrac{\sqrt{n^2+1} - 3n - 1}{-6n - \sqrt{n} + 1}.

c. \lim\dfrac{(3n -1 )(n^2 + 2)(-3n^3 - 1)}{(2n^2+1)^3}.

d. \lim\dfrac{n.\sqrt{1 + 3 + 5 + \dots + (2n+1)}}{3n^2 - n +1}.

e. \lim\dfrac{4^{n+1} + 7^{n+2}}{6^n + 9^n}.

Bài 2. Tính:

a. \lim\dfrac{1 - 2.3^n + 6^n}{2^n(3^{n+1} - 5)},

b. \lim\dfrac{1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{2^n}}{1 + \frac{3}{4} + \dots + (\frac{3}{4})^n},

c. \lim\dfrac{1 + 2 + 2^2 + \dots + 2^n}{1 + 3 + 3^2 + \dots + 3^n},

Bài 3. Tính:

a. \lim\dfrac{2\sin{n^2}}{n^2 + 3},

b. \lim{\sqrt{n^2 - n} - n},

c. \lim{\sqrt{n^2 + n} - \sqrt{n^2 + 1}},

d. \lim{\sqrt{n}(\sqrt{n+3} - \sqrt{n+1})},

e. \lim{\sqrt{n^2 + n + 2} - \sqrt{n+1}},