Đổi biến trong tích phân hàm nhiều biến

Đổi biến trong tính tích phân xác định hàm một biến:

Công thức như sau:

Giả sử \varphi(t) là hàm liên tục trên [\alpha,\beta]\varphi(\alpha) = a, \varphi(\beta) = b\varphi có đạo hàm liên tục \varphi'(t) trên đoạn [\alpha,\beta].

Chứng minh

Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(t) trong [a,b], tức là F'(x) = f(x). Đặt \Phi(t) = F(\varphi(t)) khi đó \Phi'(t) = (F\circ\varphi)'(t) = F'[\varphi(t)].\varphi'(t) = f[\varphi(t)].\varphi'(t). Do đó \Phi(t) là nguyên hàm của f[\varphi(t)].\varphi'(t). Suy ra:

\int_{\alpha}^{\beta}f[\varphi(t)]\varphi'(t)dt = \Phi(\beta) - \Phi(\alpha) = F(\varphi(\beta)) - F(\varphi(\alpha))

= F(b) - F(a) = \int_{a}^{b}f(x)dx.

Đối biến trong tính tích phân xác định hàm nhiều biến:

Xét phép đổi biến sau: (v_1, \dots , v_n) = \varphi(u_1, \dots , u_n), với \varphi là ánh xạ 1-1 và khả vi liên tục. Khi đó, vi phân của chúng là:

dv_1\cdots dv_n = |\det({D}_\varphi)(u_1, \ldots, u_n)| \, du_1\cdots du_n

Định lý đổi biến tích phân: Lấy U, V là các tập mở trong \mathbb{R}^n\varphi : U \to V ánh xạ đơn ánh, khả vi với các đạo hàm riêng liên tục, Jacobian khác 0 tại mọi x \in U. Khi đó với mọi hàm thực có giá compact, liên tục với giá chứa trong \varphi(U) thì

\int_{\varphi(U)} f(\mathbf{v})\, d \mathbf{v} = \int_U f(\varphi(\mathbf{u})) \left|\det({D}_\varphi)(\mathbf{u})\right| \,d \mathbf{u}.

Viết rõ ra: \int\limits_{\varphi(U)} f(\mathbf{v})dv_1\cdots dv_n = \int\limits_U f(\varphi(\mathbf{u})) |\det({D}_\varphi)(\mathbf{u})|du_1 \dots du_n.

Advertisements