Chứng minh rằng: $latex (4m)!$ chia hết cho $latex 24^m$.

Chứng minh rằng:  (4m)! chia hết cho 24^m.

Lời giải.

Ta chứng minh bằng quy nạp.

Với m=14! =24 chia hết cho 24, nên khẳng định đúng.

Giả sử khẳng định đúng với m=k, k\ge 1, tức là (4k)! chia hết cho 24^k.

Ta cần chứng minh (4(k+1))! chia hết cho 24^{k+1}.

Thật vậy, do (4(k+1))! =(4k)!.(4k+1).(4k+2).(4k+3).(4k+4) nên theo giả thiết quy nạp ta cần chứng minh

(4k+1).(4k+2).(4k+3).(4k+4) chia hết cho 24.

Đây là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp nên luôn chia hết cho 4! =24.

Cách khác:

Xét tập A={1,2,3,....,4m}

Số các số chia hết cho 4 trong Am(1)

Số các số chia hết cho 2 trong A2m

\Rightarrow Số các số chia hết cho 2 mà không chia hết cho 4 trong A là: 2m-m=m (2)

Từ (1),(2) suy ra (4m)! chia hết cho 4^m.2^m (a)

Số các số chia hết cho 3 trong A là: [\frac{4m}{3}]\geq m \Rightarrow (4m)! chia hết cho 3^m (b)

Kết hợp a,b ta có đpcm.

Theo: http://math.vn

Advertisements