Posted in Calculus, Giải tích

Bài tập về tính đạo hàm và viết pt tiếp tuyến.

Một số BT tính đạo hàm:

Bài 1. Tính đạo hàm của một số hàm số sau:

a. y=\dfrac{sinx - cosx}{sinx+cosx}.  b. y=\cos{\sqrt{x^3 + x^2 + x + 1}}.

c. y=\sqrt{\sin{2x}}.   d. y=\sqrt{\dfrac{1 - \sin x}{1+ \sin x}}.

Bài 2.

a. Cho hàm số: y=\dfrac{x-1}{x+1}. CMR: (x^2-1).y' - 2y =0.

b. Cho y=x.\sin{x}. CMR: xy - 2(y'-\sin x)+x.y''=0.

c. Cho y=\dfrac{1}{x-1}. Tính đạo hàm cấp n của hàm số này.

d. Cho y=(x+1)^3. Tính y^{(n)}.

Bài 3.

a. Cho hàm số y=x^3 + 3x^2 + 3. Tìm hai điểm trên đồ thị của hàm số này làm cho y'=0 và viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua hai điểm ấy.

b. Với giá trị nào của m thì đường thẳng y=mx-1 tiếp xúc với đồ thị của hàm số y=4x^3 - 3x.

Advertisements
Posted in Giải tích

Bài tập về các tính chất của đạo hàm.

Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a. y = \dfrac{x^2 - x + 1}{x-1}.

b. y = \dfrac{1+x}{\sqrt{x-1}}.

c. y= \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}.

d. y = \tan(\cos^2 x - \sin^2 x).

Bài 2. Cho f(x) = \sin x + \dfrac{1}{3}\sin{3x} - \dfrac{2}{5}\sin{5x}. Giải pt: f'(x) = 0. (Đề Đại học ngoại giao – 2000).

Bài 3. Tính đạo hàm của:

a. y = (x+1)^2(x+2)^2(x+3).

b. y = \dfrac{x^2 + 2x + 2}{x+1}.

c. y = \sqrt{\dfrac{x+1}{x}}.

Bài 4. Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị các hàm số:

a. y = \dfrac{x-1}{x+1} tại điểm có hoành độ là 0.

b. y = \sqrt{x+1} tại điểm có hoành độ là 1.

Posted in Giải tích

Bài tập về phép tính đạo hàm

Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau bằng các dùng định nghĩa:

a. x^2 - 3x tại x_0 = 2.

b. x^3 - 3x^2 + 3 tại x_0 = 1.

c. x^4 tại x_0 bất kì.

Bài 2. Cho parabol y=x^2 và hai điểm A(2;4), B(2 + \Delta x; 4 + \Delta y) trên parabol đó.

a. Tính hệ số góc của cát tuyến AB biết \Delta x lần lượt bằng 1; 0.1; 0.01.

b. Tính hệ số góc của tiếp tuyến của parabol đã cho tại điểm A.

Bài 3.

a. Tính đạo hàm của hàm số y=x.\sin 2x bằng định nghĩa.

b. Tính đạo hàm của hàm số f(x)=\begin{cases} \dfrac{\sin^2 x}{x} & khi x \ne 0\\ 0 & khi x=0\end{cases}.

c. Lập pt tiếp tuyến của đường cong sau:

y = \dfrac{-x^2 + 2x +1}{x-1} tại A(2;1).

Posted in Giải tích

Bài tập về cấp số cộng

Khi học cấp số cộng, một số công thức mà các em cần lưu ý và có thể tự xây dựng ngay từ đầu không cần theo SGK, đó là:

u_n = u_1 + (n-1)d (với d là công sai) hay tổng n số hạng đầu của cấp số cộng S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n = \dfrac{n(u_1+u_n)}{2}.

BT:

Bài 1: Cho a, b, c lập thành cấp số cộng. CMR:

  • a2 + 2bc = c2 + 2ab.
  • a2 + 8bc = (2b + c)2.
  • (a2 + ab + b2), (a2 + ac + c2), (b2 + bc + c2) lập thành cấp số cộng.

Bài 2: Cho cấp số cộng (a_n). CMR nếu \dfrac{a_m}{a_n} = \dfrac{m}{n} thì \dfrac{S_m}{S_n} = \dfrac{m(m+1)}{n(n+1)}.

Bài 3: Cho dãy: 2; 4; 7; 8; 12; 12; 17; 16; 22; … Viết tiếp 4 số hạng sau đó của dãy và tính S2n.

Bài 4: Cho cấp số cộng (a_n) thỏa mãn: \begin{cases} a_2 + a_5 - a_3 &= 10\\ a_4 + a_6 &= 26 \end{cases}. Tìm số hạng đầu và công sai.

Bài 5: Cho cấp số cộng (a_n)\begin{cases} a_3 &= -15\\ a_{14} &= 18 \end{cases}. Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên.