Ảnh và nghịch ảnh của ánh xạ

Trong phần này, ta đề cập đến khái niệm ảnh và nghịch ảnh của một ánh xạ f: X \to Y.

Ảnh: Với mỗi tập con A của X, ta gọi tập hợp f(A):=\left\{ y|y=f(x),x\in A \right\} gọi là ảnh của A (qua f).

Ví dụ:

  1. Giả sử A=\left\{ (0,a),a\in \mathbb{R} \right\}f:{{\mathbb{R}}^{2}}\to \mathbb{R} là ánh xạ f(x,y)=y;\forall x,y\in \mathbb{R}. Khi đó  f(A)=\left\{ a|\forall a\in \mathbb{R} \right\} hay f(A)=\mathbb{R}.
  2. Cũng với tập A như trên mà g:{{\mathbb{R}}^{2}}\to \mathbb{R} là ánh xạ g(x,y)=x;\forall x,y\in \mathbb{R}. Khi đó g(A)=\left\{ 0 \right\}.

Nghịch ảnh (tạo ảnh): Với mỗi tập con B của Y, ta gọi tập hợp {f}^{-1}(B):=\left\{ x\in A|f(x)\in B \right\} trong đó A là một tập con nào đó của X, là tập nghịch ảnh (hay tạo ảnh) của B. Nếu B chỉ gồm một phần tử y thì ta dùng kí hiệu f^{-1}(y) và các phần tử thuộc tập này được gọi là nghịch ảnh của y.

Chú ý: Tập B luôn có A là tập nghịch ảnh. Nhưng một phần tử nào đó của B có thể không có tập nghịch ảnh nào.

Ví dụ:

  1. Với f:{{\mathbb{R}}^{2}}\to \mathbb{R}, f(x,y)=x,\forall x,y\in \mathbb{R}, mọi phần tử a\in \mathbb{R} đều có rất nhiều nghịch ảnh trong {{\mathbb{R}}^{2}}.
  2. Với f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}, f(x)={{x}^{2}}, thì mỗi phần tử a\in \mathbb{R}sẽ có tập nghịch ảnh tương ứng như sau:
  • Nếu a<0 thì {{f}^{-1}}(a)=\varnothing . Mọi phần tử âm đều không có tập nghịch ảnh nào.
  • Nếu a=0 thì {{f}^{-1}}(0)=\left\{ 0 \right\}.
  • Nếu a>0 thì {{f}^{-1}}(a)=\left\{ -\sqrt{a},\sqrt{a} \right\}.

3. Với f:{{\mathbb{R}}^{2}}\to {{\mathbb{R}}^{2}}, f(x,y)=(y,x);\forall x,y\in \mathbb{R} thì mọi phần tử (b,a)\in {{\mathbb{R}}^{2}} đều có nghịch ảnh là phần tử (a,b)\in {{\mathbb{R}}^{2}}.

Advertisements