Một số bài tập liên quan về tích vô hướng

1, Trong đại số tuyến tính, tích vô hướng được định nghĩa là một dạng song tuyến tính đối xứng, xác định dương.

Dạng song tuyến tính \eta: V \times V \to \mathbb{R} là:

  • Đối xứng nếu \eta(u,v) = \eta(v,u).
  • Xác định nếu \eta(u,u) = 0 \Rightarrow u = \theta .
  • Không âm nếu \eta(u,u) \ge 0, \forall u.

Chẳng hạn trên \mathbb{R}^3, \langle u, v \rangle = c_1 x_1y_1 + c_2x_2y_2+c_3x_3y_3 với c_i > 0 là một tích vô hướng.

2, Một số tính chất của tích vô hướng: Đặt: \|u\| = \sqrt{\langle u,u \rangle} (Đây là độ dài của véc tơ u, đọc là chuẩn của u). Khi đó ta có một số tính chất sau:

  • Bất đắng thức Cauchy-Schwarz: Với u, v \in V thì |\langle u,v\rangle| \le \|u\|.\|v\|.
  • Khai triển Fourier: v = \langle v, e_1 \rangle e_1 + ... + \langle v, e_n \rangle e_n với \{e_1, \dots, e_n\} là một cơ sở trực chuẩn của V.
  • \|v\|^2 = \langle v, e_1 \rangle^2 + \dots + \langle v, e_n \rangle^2 với cơ sở trực chuẩn như trên.

Sau đây là một số bài tập cho các bạn luyện tập:

  1. Chứng minh BĐT Cauchy-Schwarz.
  2. Chứng minh khai triển Fourier trên.
  3. Chứng minh định lý Pythagorean: Nếu u, v trực giao với nhau thì \|u + v\|^2 = \|u\|^2 + \|v\|^2.
  4. Chứng minh đẳng thức hình bình hành: Nếu u, v \in V thì \|u + v\|^2 + \|u - v\|^2 = \|u\|^2 + \|v\|^2.
  5. Cho u_1, u_2 là hai vec tơ trực giao khác không. Với mọi v \in V, xét v^* = \dfrac{\langle v, u_1 \rangle}{\langle u_1, u_1 \rangle} u_1 + \dfrac{\langle v,u_2\rangle}{\langle u_2,u_2\rangle} u_2. Chứng minh rằng \langle v - v^*, u_1 \rangle = \langle v - v^*, u_2\rangle = 0.

 

Tích vô hướng trong không gian các hàm liên tục

BT. Gọi C_{[a,b]} là không gian các hàm liên tục trên đoạn [a,b]. Chứng minh rằng \langle f,g \rangle= \int_{a}^bf(t)g(t) dt là một tích vô hướng trên C_{[a,b]}.

BG. Dễ thấy các tính chất song tuyến tính và dương của \langle f, f \rangle . Ta chỉ còn chứng minh tính xác định của hàm này. Tức là chứng minh rằng nếu \langle f, f \rangle= 0 thì f(t) = 0, \forall t \in [a,b].

Các bạn chứng minh điều này thế nào?

(tiếp theo – 23/12/14)

Vấn đề trên chuyển về bài toán sau: Cho hàm h(t) liên tục và không âm trên đoạn [a,b], chứng minh rằng \int_a^b h(t) dt =0 thì kéo theo h(t) =0, \forall t \in [a,b].

Gợi ý: Chỉ hàm liên tục mới có tính chất này. Chẳng hạn các bạn có thể lấy một hàm không liên tục như sau:

h(t) = 0, \forall t \ne t_0h(t_0) = c > 0 thì ta có thể thấy hàm không liên tục ko thỏa mãn đầu bài. Vậy hàm liên tục nếu khác 0 tại một điểm thì sẽ khác 0 tại những điểm rất gần nó, cụ thể là do nó liên tục nên khác 0 tại một lân cận của điểm t_0.

(tiếp theo – 26/12/14) Phản chứng. Giả sử tồn tại t_0 sao cho h(t_0) >0, do tính chất liên tục nên tồn tại một khoảng con (\alpha, \beta) sao cho h(t) > 0 trên đoạn ấy. Từ đó \int_a^b h(t)dt = \int_{\alpha}^\beta h(t) dt >0. Mâu thuẫn. Từ đó ta có đpcm.