Bài tập về không gian con – 1

Bài tập. 

Cho không gian vec tơ V = \mathbb{R}^3 và tập W = \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3|\ x + y + z = 0\} \subset \mathbb{R}^3. Chứng minh rằng W là một không gian vec tơ con và tìm cơ sở.

Bg. Dễ chứng minh W là không gian con của \mathbb{R}^3 bằng cách thử sự ổn định của hai phép toán.

Ta tìm cơ sở của W: Ta có u \in W thì u = (x, y, z) thỏa mãn x + y + z = 0, từ đó u = (x, y, -x - y). Phân tích: u = (x, y, -x - y) = (x, 0, -x) + (0, y, -y) = x(1, 0, -1) + y(0, 1, -1). Từ đó W = Span\{(1,0,-1),(0,1,-1)\}.

Trong \mathbb{R}^3, hai vec tơ (1, 0, -1)(0, 1, -1) không tỉ lệ với nhau, do đó chúng độc lập tuyến tính.

Vậy \{(1,0,-1),(0,1,-1)\} là một cơ sở của W