Bài tập về cấp số cộng

Khi học cấp số cộng, một số công thức mà các em cần lưu ý và có thể tự xây dựng ngay từ đầu không cần theo SGK, đó là:

u_n = u_1 + (n-1)d (với d là công sai) hay tổng n số hạng đầu của cấp số cộng S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n = \dfrac{n(u_1+u_n)}{2}.

BT:

Bài 1: Cho a, b, c lập thành cấp số cộng. CMR:

  • a2 + 2bc = c2 + 2ab.
  • a2 + 8bc = (2b + c)2.
  • (a2 + ab + b2), (a2 + ac + c2), (b2 + bc + c2) lập thành cấp số cộng.

Bài 2: Cho cấp số cộng (a_n). CMR nếu \dfrac{a_m}{a_n} = \dfrac{m}{n} thì \dfrac{S_m}{S_n} = \dfrac{m(m+1)}{n(n+1)}.

Bài 3: Cho dãy: 2; 4; 7; 8; 12; 12; 17; 16; 22; … Viết tiếp 4 số hạng sau đó của dãy và tính S2n.

Bài 4: Cho cấp số cộng (a_n) thỏa mãn: \begin{cases} a_2 + a_5 - a_3 &= 10\\ a_4 + a_6 &= 26 \end{cases}. Tìm số hạng đầu và công sai.

Bài 5: Cho cấp số cộng (a_n)\begin{cases} a_3 &= -15\\ a_{14} &= 18 \end{cases}. Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên.

Bài tập về phương pháp quy nạp toán học và dãy số

1, Tính tổng 1^3 + 2^3 + \dots + n^3 = \dfrac{n^2(n+1)^2}{4}.

2, Chứng minh rằng n^3 + 11n chia hết 6.

3, Tính tổng 1.2 + 2.3 + \dots + n.(n+1).

4, Tính: u_n = \dfrac{1}{1.2} + \dfrac{1}{2.3} + \dots + \dfrac{1}{n(n+1)}.

5, Xét tính bị chặn của dãy cho ở bài tập 4.

6, Cho dãy số (a_n) xác định bởi a_1 = a_2 = 1, a_n - 2a_{n-1} + a_{n-2} = 2, \forall n \ge 3.

a, Chứng minh công thức a_n - a_{n-1} = 2n - 4.

b, Tìm số hạng tổng quát của dãy.

c, Tính tổng n số hạng đầu của dãy.