Bài tập về hai mặt phẳng song song

Chú ý: Hai định lý Talet thuận và đảo (xem sách giáo khoa). Đặc biệt từ định lý Talet đảo ta có thể chứng minh hai mặt phẳng song song.

Bài 1. Cho hình chóp SABCD đáy là hình bình hành tâm O. Hai tam giác SAD và ABC đều cân tại A. Gọi AE, AF là các đường phân giác trong của ACD và SAB. CMR: EF // (SAD).

Hướng dẫn: Sử dụng định lý sau (học từ lớp 8): Trong tam giác ABC có AI phân giác, I nằm trên cạnh BC. Khi đó \dfrac{IB}{AB}= \dfrac{IC}{AC}. Từ đó áp dụng với các tam giác ACD và SAB ở trên + chú ý hai tam giác này cân.

Bài 2. Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình bình hành. E là trung điểm cạnh SC, (P) là mặt phẳng chuyển động luôn qua E và luôn song song với CD.
a.    CMR: (P) luôn đi qua một đường thẳng cố định.
b.    (P) cắt SD, SA, SB lần lượt tại F, I, K. Thiết diện EFIK là hình gì ?. Tại sao ?
c.    Tìm tập hợp giao điểm H của EK và FI khi K di động trên SB.

Hướng dẫn:

Câu a: Một đường thẳng CD song song với mp(P) thì nó phải song song với mp nằm trên (P), xem (P) cắt mp nào?

Câu b: Chú ý giao tuyến Sx của 2 mp (SAB) và (SCD), từ đó sẽ thấy tứ giác đó là hình gì.

Câu c: Dùng định lý 3 giao tuyến và chú ý giao tuyến của (SAD) và (SBC). Chú ý rằng trường hợp EK//BC thì có tồn tại giao điểm của EK và FI không?

Bài 3. Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Các mặt bên ABB’A’, ACC’A’ là hình vuông. Gọi I, J lần lượt là tâm các mặt bên đóvà O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC.
a.    CMR IJ // (ABC).
b.   Xác định thiết diện của lăng trụ với (IJO). CMR thiết diện là hình thang cân, tính diện tích thiết diện theo a.

Hướng dẫn: Câu a: Xét tam giác A’BC là xong. Câu b: Qua O kẻ đường thẳng song song với BC và nằm trong mp(ABC) là thấy ngay.

Cho h×nh chãp SABCD ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh t©m O. Gäi M, N lÇn l­ît lµ trung ®iÓm SA, CD.

Bài tập về đường thẳng song song với mặt phẳng

ĐN: Một đường thẳng và một mặt phẳng được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.

Tính chất:

  • Nếu một đường thẳng d không nằm trên mặt phẳng (\alpha) và song song với một đường thẳng a nào đó nằm trong (\alpha) thì đường thẳng d song song với mặt phẳng (\alpha).
  • Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (Q). Nếu mặt phẳng (P) đi qua a và cắt mặt phẳng (Q) thì giao tuyến của (P) và (Q) song song với a.
  • Nếu 2 mặt phẳng cắt nhau và cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng song song với đường thẳng đó.

Lưu ý các tính chất trên, các em vẽ cụ thể hình ra để hình dung.

Bài tập:

Bài 1. Cho tứ diện ABCD, G là trọng tâm tam giác ABD , M thuộc BC sao cho: MB = 2MC.CMR: GM // (ACD).

Bài 2. Cho 2 hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng.

a.    Gọi O và O’ là tâm của ABCD và ABEF. CMR: OO’ // (ADF) và OO’ // (BCE).

b.    Gọi M, N là 2 điểm lần lượt trên AE, BD sao cho: AE=3AM, BD=3BN. CMR: MN // (CDEF).

Bài 3. Cho hình chóp SABCD. M, N là 2 điểm trên AB, CD. (\alpha) là mặt phẳng qua MN và song song SA.

a.    Tìm các giao tuyến của (\alpha) với (SAB) và (SAC).
b.    Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (\alpha).
Bài 4.    Cho hình chóp SABCD. M, N là 2 điểm trên SB và CD. (P) là mặt phẳng qua MN và song song SC.
a. Tìm các giao tuyến của (P) với (SBC), (SCD) và (SAC).
b. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P).


Nu mt ®­ng th¼ng d kh«ng n»m trªn mỈt ph¼ng () vµ song song víi mt ®­ng th¼ng a nµo ® n»m trong () th× ®­ng th¼ng d song song víi mỈt ph¼ng ().