Thể tích hình cầu n chiều – II

Bài này tiếp nối bài “Tính thể tích hình cầu n chiều – I”. Trong bài thứ nhất, ta đã định nghĩa và trình bày cách tính hình cầu với phương pháp tính tích phân và đổi biến thông thường. Giờ đây ta sẽ trình bày tiếp 2 phương pháp nữa. Trong đó phương pháp của Lasserre theo chúng tôi là thú vị hơn cả. Vừa ngắn gọn lại dùng biến đổi Laplace. Xin trình bày 2 phương pháp tiếp theo.

Abstract. Trong tài liệu này chúng tôi trình bày một số phương pháp tính thể tích hình cầu n chiều, trong đó kiến thức chỉ dùng Giải tích 1+2 và liên quan đến hàm Gamma và biến đổi Laplace học trong chương trình Toán kỹ thuật của Học viện CNBCVT.

3. Phương pháp 2

Ta có {\mathbb{R}^n = \mathbb{R}^{n-1}\times \mathbb{R}}. Khi đó

\displaystyle V_n(R) = \int_{B_n(R)}dx_1dx_2\dots dx_n

\displaystyle = \int_{B_1(R)}\bigg( \int_{B_{n-1}(\sqrt{R^2 - x_n^2})}dx_1 \dots dx_{n-1} \bigg) dx_n,

bằng quy nạp, ta được

\displaystyle = \frac{\pi^{(n-1)/2}}{\Gamma(\frac{n-1}{2} + 1)}\int_{-R}^{R}(R^2 - x_n^2)^{(n-1)/2}dx_n

\displaystyle = \frac{2\pi^{(n-1)/2}}{\Gamma(\frac{n + 1}{2})}\int_{0}^{R}(R^2 - x_n^2)^{(n-1)/2}dx_n,

đặt {x_n = R\sqrt{t}}, ta có

\displaystyle = \frac{2\pi^{(n-1)/2}}{\Gamma(\frac{n + 1}{2})}\frac{R^n}{2}\int_{0}^{1}(1 - t)^{(n-1)/2}t^{-1/2}dt

\displaystyle = R^n\frac{\pi^{(n-1)/2}}{\Gamma(\frac{n + 1}{2})}B(\frac{n+1}{2}, \frac{1}{2})

\displaystyle = R^n\frac{\pi^{(n-1)/2}}{\Gamma(\frac{n + 1}{2})}\frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})\Gamma(\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{n}{2} + 1)}

Từ {\Gamma(\frac{1}{2}) = \pi^{1/2}}, ta được

\displaystyle V_n(R) = \dfrac{\pi^{n/2}R^n}{\Gamma(\frac{n}{2} + 1)}.

4. Phương pháp 3 (theo Lasserre)

Phương pháp của Lasserre là xét một hàm tích phân, sau đó dùng biến đổi Laplace để đưa ra công thức của Định lý chính. Phương pháp này như sau (xem \cite{Lasserre}).

Xét hàm {f : \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+},

\displaystyle y \mapsto f(y) := \int_{\|x\|^2 \le y}dx.

Hàm này chính là hàm tính thể tích của hình cầu bán kính {\sqrt{y}}. Xét phép biến đổi Laplace {F : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}} xác định như sau:

\displaystyle z \mapsto F(z) := \int_0^{\infty}e^{-zy}f(y)dy, z \in \mathbb{C}, Re(z) > 0.

Khi đó

\displaystyle F(z) = \int_0^{\infty} e^{-zy}\big[\int_{\|x\|^2 \le y}dx \big]dy

{= \int_{\mathbb{R}^n}\bigg[ \int_{\|x\|^2}^{\infty}e^{-zy}dy \bigg]dx} {= z^{-1}\int_{\mathbb{R}^n}e^{-z\|x\|^2}dx} {= z^{-1}\prod_{i=1}^n \int_{-\infty}^{\infty} e^{-zx_i^2}dx_i}

\displaystyle = z^{-1}[\pi/z]^{n/2} = z^{-n/2-1}\pi^{n/2} = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2 + 1)}\cdot\frac{\Gamma(n/2 + 1)}{z^{n/2+1}}.

Ta thấy {\frac{\Gamma(n/2 + 1)}{z^{n/2+1}}} chính là biến đổi Laplace của {y^{n/2}}, tức là

\displaystyle \frac{\Gamma(n/2 + 1)}{z^{n/2+1}} = \mathcal{L}(y^{n/2}).

Từ đó ta có

\displaystyle f(y) = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2 + 1)}y^{n/2}.

Kết luận cuối cùng đúng đắn vì tính tuyến tính và tính duy nhất của biến đổi Laplace:

\displaystyle \mathcal{L}(f) = \mathcal{L}(g) \Rightarrow f = g.

Định lý được chứng minh.

Hệ quả.  Với R > 0 thì

\lim_{n \to \infty}V_n(R) = 0.

Vậy số chiều càng lớn thì thế giới càng nhỏ :))

Tài liệu tham khảo

  1. T. M. Apostol, Calculus, Volume 2, second edition, Wiley, 1969.
  2. D. J. Smith and M. K. Vamanamurthy, How small is a Unit ball?, Mathematics Magazine, Vol. 62, No. 2 (1989), 101-107.
  3. J. B. Lasserre, A Quick proof for the Volume of n-Balls, The American Mathematical Monthly, Vol. 108, No. 8 (2001), p. 768-769.

Thể tích hình cầu n chiều – I

Abstract. Trong tài liệu này chúng tôi trình bày một số phương pháp tính thể tích hình cầu n chiều, trong đó kiến thức chỉ dùng Giải tích 1+2 và liên quan đến hàm Gamma và biến đổi Laplace học trong chương trình Toán kỹ thuật của Học viện CNBCVT.

1. Giới thiệu

Trong các đối tượng hình học thì hình cầu luôn là một đối tượng đặc biệt. Đó là một tập đóng và bị chặn, tức là trong không gian Euclid {\mathbb{R}^n} thì hình cầu {B_n} là một tập compact.

Definition 1 Tập hợp

\displaystyle B_n(R) := \{(x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n| x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2 \le R^2\},

trong đó {R} là một số thực không âm, được gọi là hình cầu bán kính {R} trong không gian Euclid {\mathbb{R}^n, n \ge 1}.

Example 1 \quad

  1. {n=1} thì {B_1(R)} là đoạn {[-R; R]}.
  2. {n=2} thì {B_2(R)} là hình tròn tâm {O(0;0)} bán kính {R}:

    \displaystyle B_2(R) := \{(x_1, x_2) \in \mathbb{R}^2| x_1^2 + x_2^2 \le R^2\}.

  3. {n=3} thì {B_3(R)} là hình cầu (ball) tâm {O(0;0;0)} bán kính {R}:

    \displaystyle B_3(R) := \{(x_1, x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3| x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 \le R^2\}.

Ta có bài toán cơ bản sau:  Tính thể tích của hình cầu {B_n(R)}.

Ta có kết quả sau:

Theorem 2 Thể tích của hình cầu {n} chiều, bán kính {R} được tính theo công thức sau đây

\displaystyle V_n(R) = \dfrac{\pi^{n/2}R^n}{\Gamma(\frac{n}{2} + 1)}.

Trước hết, ta trình bày 2 phương pháp chứng minh định lý trên theo cách cổ điển thường thấy trong một số tài liệu về Giải tích các hàm nhiều biến. Chẳng hạn, xem [1, 2].

2. Phương pháp 1

Ta có {\mathbb{R}^n = \mathbb{R}^{n-2}\times \mathbb{R}^2}. Khi đó {(x_1, \dots, x_n) \in B_n(R)} nếu và chỉ nếu

\displaystyle x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_{n-2}^2 + x_{n-1}^2 + x_n^2 \le R^2,

tức là tương đương

\displaystyle x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_{n-2}^2 \le R^2 - x_{n-1}^2 - x_n^2.

Vì vậy

\displaystyle V_n(R) = \int_{B_n(R)} dx_1dx_2\dots dx_n

\displaystyle = \int_{B_2(R)}\bigg( \int_{B_{n-2}(\sqrt{R^2 - x_{n-1}^2 - x_n^2})}dx_1 \dots dx_{n-2} \bigg) dx_{n-1}dx_n, .

Bằng quy nạp, ta có:

\displaystyle V_n(R) = \frac{\pi^{(n-2)/2}}{\Gamma(\frac{n-2}{2} + 1)}\int_{B_2(R)}(R^2 - x_{n-1}^2 - x_n^2)^{(n-2)/2}dx_{n-1}dx_n.

Sử dụng tọa độ cực, ta có được kết quả

\displaystyle \frac{\pi^{(n-2)/2}}{\Gamma(\frac{n}{2})}\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{R}(R^2 - t^2)^{(n-2)/2}tdt = \frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2})}\cdot\frac{R^n}{n} = \dfrac{\pi^{n/2}R^n}{\Gamma(\frac{n}{2} + 1)}.

Tài liệu tham khảo

  1. T. M. Apostol, Calculus, Volume 2, second edition, Wiley, 1969.
  2. D. J. Smith and M. K. Vamanamurthy, How small is a Unit ball?, Mathematics Magazine, Vol. 62, No. 2 (1989), 101-107.

Một tính chất của định thức

Tiết này giới thiệu ngắn gọn một tính chất của định thức nhằm nói lên ý nghĩa của nó.

Definition 1 Cho {v_1, \dots, v_k} là các vec tơ độc lập tuyến tính trong {\mathbb{R}^n}. Ta xác định hình khối song song {k}-chiều {\mathcal{P} = \mathcal{P}(v_1, \dots, v_k)} là tập hợp tất cả các vec tơ {v \in \mathbb{R}^n} sao cho

\displaystyle v = c_1v_1 + \dots + c_kv_k

với {c_i} thoả mãn {0 \le c_i \le 1}. Các vec tơ {v_1, \dots, v_k} được gọi là các cạnh của {\mathcal{P}}.

Example 1 Có thể hình dung hình khối song song sinh bởi 2 vec tơ {v_1 = (1, 1), v_2 = (1, 2)} chính là hình bình hành có hai vec tơ này là hai cạnh kề nhau, 2 cạnh còn lại dựng bởi các đường song song.

Trong định nghĩa trên, nếu {k = n} thì ta có khái niệm thể tích và thể tích của hình khối song song được xác định qua định lý sau

Theorem 2Cho {v_1, \dots, v_n}{n} vec tơ độc lập tuyến tính trong {\mathbb{R}^n}. Cho {A = [v_1 \dots v_n]} là ma trận của hệ vec tơ này với các cột là các toạ độ của các vec tơ. Khi đó

\displaystyle v(\mathcal{P}(v_1, \dots, v_n)) = |\det(A)|.

Có thể tham khảo tại: https://en.wikipedia.org/wiki/Parallelepiped