May 2011 – Mathematics

Hàm đơn điệu liên quan đến đạo hàm như thế nào?

Chú ý đến định lý sau là cơ sở để xét hàm tăng, hàm giảm bằng công cụ đạo hàm. Yêu cầu trước tiên các em ôn lại bảng xét dấu đã học ở lớp 10.

ĐL: Nếu $f(x)$ là hàm xác định và có đạo hàm trên $K$ .

a, Nếu $f'(x) >0$ với mọi $x$ thuộc $K$ thì $f$ là hàm đồng biến (tăng) trên $K$ .

b, Nếu $f'(x) <0$ với mọi $x$ thuộc $K$ thì $f$ là hàm nghịch biến (giảm) trên $K$ .

Trên đây, $K$ là khoảng mở $(a,b)$ hay khoảng đóng $[a,b]$ .

———

Bài tập:

Bài 1. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số:

a. $y=x^3 - 2x^2 + x +2$ .

b. $y = x^3 + 3x^2 + 3x + 7$ .

c. $y = \dfrac{-3x + 4}{2x-1}$ .

d. $y = \dfrac{x^2 - 3x + 6}{x-1}$ .

Bài 2. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số:

a. $y = \dfrac{x^2 - x +4 }{x}$ .

b. $y=\dfrac{-x^2 + 2x +1 }{x - 1}$ .

c. $y = x^3 - 3x + 2$ .

—

Chú ý: Những bài tập trên đây đều là những bài tập phải xét dấu của đạo hàm, do đó các em hãy xem lại phần xét dấu ở sách lớp 10 nhé.

ĐN: Cho hàm số $f: D \to \mathbb R$ . Hàm số được gọi là đồng biến trên $(a,b) \subset D$ nếu với mọi $x_1, x_2 \in (a,b)$ sao cho $x_1 > x_2$ thì $f(x_1) > f(x_2)$ . Hàm đồng biến còn gọi là hàm tăng.

Cho hàm số $f: D \to \mathbb R$ . Hàm số được gọi là nghịch biến trên $(a,b) \subset D$ nếu với mọi $x_1, x_2 \in (a,b)$ sao cho $x_1 > x_2$ thì $f(x_1) < f(x_2)$ . Hàm nghịch biến còn gọi là hàm giảm.

Phương pháp xem hàm số đồng/ nghịch biến: Để xem hàm số đồng biến hay nghịch biến trên một khoảng $(a,b)$ , ta lấy giá trị $x_1,x_2 \in (a,b)$ sao cho $x_1 > x_2$ rồi xét hiệu $f(x_1) - f(x_2)$ , chú ý, dùng giả thiết $x_1 - x_2 > 0$ .