Tag: Mayer-Vietories

An exercise of Mayer-Vietories sequence in Hatcher

On By hpdungIn Geometric topology, LearningLeave a comment

BT 2.2.31 Hatcher. Dùng dãy Mayer-Vietories để chứng tỏ rằng có một đẳng cấu \widetilde{H}_n(X \vee Y) = \widetilde{H}_n(X) \oplus \widetilde{H}_n(Y) nếu các điểm cơ sở (base points) của X và Y được đồng nhất trong X \vee Y là co rút biến dạng của các lân cận U \subset X và V\subset Y.

—–

Để sử dụng dãy Mayer-Vietories, ta phải tìm đc 2 tập mở A và B để X \vee Y = A \cup B. Thật vậy, chọn A = X \vee V và Y \vee U. 2 tập đều mở nên X \vee Y = int(A) \cup int(B). Mặt khác, A \cap B = U \cap V, theo giả thiết, điểm nối giữa X và Y là co rút biến dạng của U và V, nên khi đồng nhất 2 điểm của x \in U và y \in V thì ta có thể coi x \equiv y là co rút biến dạng của U \cap V. Do đó U \cap V \simeq \{x\} và \widetilde{H}_n(U \cap V) = \widetilde{H}_n(point).

Áp dụng dãy Mayer-Vietories thu gọn với A và B như trên, ta có dãy khớp dài sau:

... \rightarrow \widetilde{H}_n(A \cap B) \rightarrow \widetilde{H}_n(A) \oplus \widetilde{H}_n(B) \rightarrow \widetilde{H}_n(X \vee Y) \xrightarrow{\partial} \widetilde{H}_{n - 1}(A \cap B) \rightarrow ...\rightarrow \widetilde{H}_0(X \vee Y) \rightarrow 0

Vì đồng điều của A \cap B là đồng điều một điểm nên ta có:

...\rightarrow 0 \rightarrow \widetilde{H}_n(A) \oplus \widetilde{H}_n(B) \rightarrow \widetilde{H}_n(X \vee Y) \xrightarrow{\partial} 0 \rightarrow ...\rightarrow 0 \rightarrow 0

Từ đó ta có: \widetilde{H}_n(X \vee Y) = \widetilde{H}_n(A) \oplus \widetilde{H}_n(B), và vì A \simeq X, B \simeq Y nên \widetilde{H}_n(A) = \widetilde{H}_n(X), \widetilde{H}_n(B) = \widetilde{H}_n(Y). Do đó, ta được đẳng cấu:

\widetilde{H}_n(X \vee Y) = \widetilde{H}_n(X) \oplus \widetilde{H}_n(Y) (đpcm).