Dạng toàn phương xác định dương

Một số đề bài ôn tập hoặc trong bài thi sẽ có thể có câu hỏi: Khi nào thì một dạng toàn phương Q(v) là xác định dương (cho trước tham số \lambda).

Thế nào là dạng toàn phương xác định dương trên \mathbb{R}^n:

Q đươc gọi là dạng toàn phương xác định dương nếu Q(v) > 0 với mọi v \ne 0.

Nếu ở dạng chính tắc Q(x_1, \dots, x_n) = \lambda_1 x_1^2 + \lambda_2 x_2^2 + \dots + \lambda_n x_n^2 thì Q xác định dương khi và chỉ khi \lambda_i > 0, \forall i.

Để xét điều kiện của tham số xem khi nào dạng toàn phương là xác định dương, có thể không cần đưa về chính tắc mà sử dụng định lý Sylvester sau (xem giáo trình của trường PTIT – định lý 7.2):

Định lý (Sylvester):

Giả sử dạng toàn phương Q  có ma trận là A  trong một cơ sở nào đó của V. Khi đó:

(i) Q xác định dương khi và chỉ khi các định thức con góc trái của A  luôn dương.

(ii) Q xác định âm khi và chỉ khi các định thức con góc trái cấp chẵn là dương và cấp lẻ là âm.

Ví dụ: Tìm \lambda để dạng toàn phương sau xác định dương: Q(x_1, x_2,x_3) = 5x_1^2 + x_2^2 + \lambda x_3^2 + 4x_1x_2 - 2x_1x_3 - 2x_2x_3.

Hướng dẫn.

Viết ma trận trong cơ sở chính tắc của dạng toàn phương: A= \begin{pmatrix} 5 & 2 & -1\\ 2 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & \lambda\end{pmatrix} .

Sử dụng định lý nêu trên, ta có D_1 = 5, D_2 = 1, D_3 = \begin{vmatrix} 5 & 2 & -1\\ 2 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & \lambda\end{vmatrix} = \lambda - 2, do đó để dạng toàn phương xđ dương thì D_3 >0 hay \lambda > 2.

Advertisements