Category: Đại số

Một cách chứng minh ngắn cho bất đẳng thức AM-GM

On By hpdungIn Đại số1 Comment

Bất đẳng thức AM-GM được phát biểu như sau:

\dfrac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} \ge \sqrt[n]{a_1a_2\dots a_n} với a_1, a_2, \dots, a_n (*)  là các số thực không âm bất kì.

Còn gọi là bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức AM-GM tổng quát có nhiều cách chưng minh rất độc đáo và ngắn gọn. Đây là một cách chứng minh của Kong-Ming-Chong (Malaysia) (trích báo toán học tuổi trẻ):

Trước hết, đặt T=\dfrac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n}, khi đó bất đẳng thức trên tương đương với T^n\ge a_1a_2\dots a_n.

Nếu a_1=a_2=...=a_n thì (*) trở thành đẳng thức, vì: T^n=T.T\dots T = a_1a_2\dots a_n.

Nếu a_1,a_2,...,a_n không bằng nhau thì phải có bất đẳng thức thực sự:

T^n > a_1a_2...a_n (1).

Ta chứng minh (1) bằng qui nạp.

Dễ thấy (1) đúng với n=2, tức là a_1 \ne a_2 \Rightarrow T^2 = (\dfrac{a_1+a_2}{2})^2>a_1a_2.

Giả sử (1) đúng với n-1 số không bằng nhau tất cả có trung bình cộng là T. Ta phải chứng minh (1) đúng với n.

Thật vậy, trong các số a_1, a_2, ... , a_n không bằng nhau tất cả phải có một số bé hơn T và một số lớn hơn T, giả sử là a_1 và a_2: a_1 < T < a_2. Do đó ta có (T-a_1)(a_2 - T)>0 hay là a_1 + a_2 - T > \dfrac{a_1a_2}{T} \ge 0. Ta xét n-1 số không âm sau đây: a_3,a_4,...,a_n,(a_1+a_2-T). Dễ thấy n-1 số nói trên không bằng nhau tất cả nên theo giả thiết quy nạp thì: T^{n-1} > a_3a_4...(a_1+a_2-T) > a_3a_4...a_n\dfrac{a_1a_2}{T}.

Vậy T^n > a_1a_2...a_n (đpcm).