Bảng điểm Toán cao cấp 2 – nhóm 1 – kì hè 2018

UPDATE: Bảng điểm thành phần (đã cộng): Toan cao cap 2-Nhom1-he2018-final

Thầy up bảng điểm thành phần (chưa cộng): Toan cao cap 2 – Nhom 1 – he2018.

Người nào có dấu + sẽ được cộng. Có hai người full 3 cột 10 như thông báo sáng nay.

Advertisements

Về một bài toán trong kỳ thi lần 2 (2016-2017), môn Đại số

Bài toán trong kỳ thi lại như sau:

Câu 3. Cho {W_1 = \{(x,y,0) | x,y \in \mathbb{R}\}}, {W_2} là không gian vec tơ con của {\mathbb{R}^3} sinh bởi hai vec tơ {(1,2,3)}{(1,-1,1)}.

  1. Tìm điều kiện {x, y, z} để {u = (x,y,z) \in W_2}.
  2. Tìm {W_1 + W_2}.
  3. Tìm {W_1 \cap W_2}.

Hầu hết các em chỉ làm được ý 3 và làm sai hai ý còn lại. Ý 1 nhiều em đưa ra được hệ phương trình nhưng lại lúng túng.

1. có thể giải đơn giản như sau: {u = (x,y,z) \in W_2} nếu và chỉ nếu tồn tại {a, b} sao cho {(x,y,z) = a(1,2,3) + b(1,-1,1)}. Điều này tương đương với hệ sau có nghiệm {a, b}:

\displaystyle \begin{cases} a+b &=x\\ 2a-b&=y\\ 3a+b&=z \end{cases}.

Đến đây các em có thể dùng hạng ma trận để đưa ra liên hệ giữa {x, y, z} hoặc có thể xử lý trực tiếp hệ:

Từ hai pt đầu có {3a = x+y}, pt thứ 3 có {3a = z - b} do đó: {x+y = z - b}, mặt khác {b= 2x-y/3} nên {x + y = z - 2x/3 + y/3} và kéo theo {5x + 2y - 3z = 0}, đó chính là điều kiện cần tìm.

2. Dựa vào ý 1, dự đoán rồi chứng minh \mathbb{R}^3 = W_1 + W_2. Tại sao dự đoán như này? Vì quan sát cơ sở của hai không gian con W_1, W_2, hợp của hai cơ sở này có đến 3 vec tơ độc lập tuyến tính.

Có thể phân tích (x,y,z) = (x-3z/5,y, 0) + (3z/5, 0 ,z).

Bảng điểm thành phần các lớp Đại số, kì 1, 2016

Thầy up bảng điểm thành phần các lớp. Các lớp trưởng lưu ý nhắc các bạn xem.

Nếu ai có thắc mắc gì thì hãy gửi về mail: hpdung83@gmail.com, thời hạn: Hết 24h, ngày 05/01/2016. Sau thời hạn đó, thầy sẽ gửi bảng điểm và mọi thắc mắc không còn hiệu lực nữa. File bảng điểm có 4 tab tương ứng với các lớp.

Đây là link file bảng điểm thành phần: diem-thanh-phan-dai-so-nhom-1-6-9-16

Chúc các em ôn thi tốt.

D.

Hết thời hạn gửi thắc mắc.

Bảng điểm đã update một số trường hợp – 04/1: diem-thanh-phan-dai-so-nhom-1-6-9-16-updated-4-1

A property of span of S

As we know, {S} is a nonempty subset of a vector space {V}, then the set {W} consisting of all linear combinations of elements of {S} is a subspace of {V}.

The subspace {W} described in above fact is called the span of {S} {or the subspace generated by the elements of {S}).

We have the following theorem in the book ‘Linear algebra’ of Friedberg et al.

Theorem 1 Let {S} be a linearly independent subset of a vector space {V}, and let {v} be an element of {V} that is not in {S}. Then {S \cup \{v\}} is linearly dependent if and only if { v \in span(S)}.