## WHAT IS THE BEST PROOF OF CAUCHY’S INTEGRAL THEOREM?

Sourse: Kevin Houston

http://www.kevinhouston.net/blog/2013/03/what-is-the-best-proof-of-cauchys-integral-theorem/

## Môn Toán kỹ thuật ở MIT

Đây là các phần Toán kỹ thuật được dạy ở Massachusetts Institute of Technology (Học viện Công nghệ Massachusetts).

## Course Textbook

Kreyszig, Erwin. Advanced Engineering Mathematics. 8th ed. New York, NY: J.W. Wiley & Sons, 1999. ISBN: 9780471333753.

# Mathematics for Materials Scientists and Engineers

Parabolic approximation to a surface and local eigenframe. The surface on the left is a second-­order approximation of a surface at the point where the coordinate axes are drawn. The surface has a local normal at that point which is related to the cross product of the two tangents of the coordinate curves that cross at the that point. The three directions define a coordinate system. The coordinate system can be translated so that the origin lies at the point where the surface is expanded and rotated so that the normal n coincides with the z-axis as in the right hand curve. (Image by Prof. W. Craig Carter.)

### Instructor(s)

Prof. W. Craig Carter

3.016

Fall 2005

CITE THIS COURSE

## Course Description

This course covers the mathematical techniques necessary for understanding of materials science and engineering topics such as energetics, materials structure and symmetry, materials response to applied fields, mechanics and physics of solids and soft materials. The class uses examples from the materials science and engineering core courses (3.012 and 3.014) to introduce mathematical concepts and materials-related problem solving skills. Topics include linear algebra and orthonormal basis, eigenvalues and eigenvectors, quadratic forms, tensor operations, symmetry operations, calculus of several variables, introduction to complex analysis, ordinary and partial differential equations, theory of distributions, and fourier analysis.

Users may find additional or updated materials at Professor Carter’s 3.016 course Web site.

## Bài giảng Toán kỹ thuật của thầy Lê Bá Long

Dear all,

Hiện nay các em đang dùng nhiều giáo trình và bài giảng khác nhau của môn Toán kỹ thuật. Do đó thầy đưa link thư viện lên đây để ta thống nhất dùng Bài giảng của PGS Lê Bá Long, theo version này nhé.

http://dlib.ptit.edu.vn/handle/123456789/1277

Best,

D.

## A = B+ I, B^2 = 0

Let ${A = \begin{pmatrix} a + 1& -a\\ a & -a + 1\\ \end{pmatrix}}$. What can we say about ${A}$?

Remark: ${A}$ has some interesting properties: ${A = B + I}$ where ${B^2 = O}$.

1. ${A^n = nB+I, n \in \mathbb{Z}}$.
Indeed, we can prove it by induction.
${A^2 = (B+I)(B+I) = B^2 + 2B + I = 2B+I}$, ${(B+I)(-B+I) = I \Rightarrow A^{-1} = -B + I, A^{-2} = (-B + I)(-B+I) = -2B+I\dots}$ Suppose that ${A^k = kB+I}$, we have ${A^{k+1} = (kB+ I)(B+I) = kB^2 + (k+1)B + I = (k+1)B + I}$. Moreover, suppose that ${A^{-k} = -B+I}$, we have ${A^{-k-1} = (-kB+I)(-B+I) = -(k+1)B + I}$.
2. ${A^{-1} = - B+I \Leftrightarrow B + I = - A^{-1} + 2I \Leftrightarrow A = -A^{-1} + 2I \Leftrightarrow A + A^{-1} = 2I}$.

## Về một bài toán trong kỳ thi lần 2 (2016-2017), môn Đại số

Bài toán trong kỳ thi lại như sau:

Câu 3. Cho ${W_1 = \{(x,y,0) | x,y \in \mathbb{R}\}}$, ${W_2}$ là không gian vec tơ con của ${\mathbb{R}^3}$ sinh bởi hai vec tơ ${(1,2,3)}$${(1,-1,1)}$.

1. Tìm điều kiện ${x, y, z}$ để ${u = (x,y,z) \in W_2}$.
2. Tìm ${W_1 + W_2}$.
3. Tìm ${W_1 \cap W_2}$.

Hầu hết các em chỉ làm được ý 3 và làm sai hai ý còn lại. Ý 1 nhiều em đưa ra được hệ phương trình nhưng lại lúng túng.

1. có thể giải đơn giản như sau: ${u = (x,y,z) \in W_2}$ nếu và chỉ nếu tồn tại ${a, b}$ sao cho ${(x,y,z) = a(1,2,3) + b(1,-1,1)}$. Điều này tương đương với hệ sau có nghiệm ${a, b}$:

$\displaystyle \begin{cases} a+b &=x\\ 2a-b&=y\\ 3a+b&=z \end{cases}.$

Đến đây các em có thể dùng hạng ma trận để đưa ra liên hệ giữa ${x, y, z}$ hoặc có thể xử lý trực tiếp hệ:

Từ hai pt đầu có ${3a = x+y}$, pt thứ 3 có ${3a = z - b}$ do đó: ${x+y = z - b}$, mặt khác ${b= 2x-y/3}$ nên ${x + y = z - 2x/3 + y/3}$ và kéo theo ${5x + 2y - 3z = 0}$, đó chính là điều kiện cần tìm.

2. Dựa vào ý 1, dự đoán rồi chứng minh $\mathbb{R}^3 = W_1 + W_2$. Tại sao dự đoán như này? Vì quan sát cơ sở của hai không gian con $W_1, W_2$, hợp của hai cơ sở này có đến 3 vec tơ độc lập tuyến tính.

Có thể phân tích $(x,y,z) = (x-3z/5,y, 0) + (3z/5, 0 ,z)$.

## A expression of sine

Expansion of $\ln(1-z)$

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{n}=\ln(1-z)$

Hence, $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(n\theta)}{n} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{in\theta}-e^{-in\theta}}{2in} = \frac{\ln(1-e^{i\theta})-\ln(1-e^{-i\theta})}{2i} = \frac{\pi-\theta}{2}$.

We can apply above formula: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin^3 n}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3\sin n -\sin(3n)}{4n} = \frac34\cdot\frac{\pi-1}{2} - \frac14\cdot\frac{\pi-3}{2} = \frac{\pi}{4}$.

https://artofproblemsolving.com/community/c7t443f7h1390328_convergence_of_sine_series

## Sylvester’s Problem, Gallai’s Solution

(Để tạm đây)

The Sylvester Problem has been posed by James Joseph Sylvester in 1893 in Educational Times:

Let n given points have the property that the line joining any two of them passes through a third point of the set. Must the n points all lie on one line?

T. Gallai’s proof has been outlined by P. Erdös in his submission of the problem to The American Mathematical Monthly in 1943.

### Solution

Given the set Π of noncollinear points, consider the set of lines Σ that pass through at least two points of Π. Such lines are said to be connecting. Among the connecting lines, those that pass through exactly two points of Π are called ordinary.

Choose any point p1Π. If p1 lies on an ordinary line we are done, so we may assume that p1 lies on no ordinary line. Project p1 to infinity and consider the set of connecting lines containing p1. These lines are all parallel to each other, and each contains p1 and at least two other points of Π. Any connecting line not through p1 forms an angle with the parallel lines; let s be a connecting line (not through p1) which forms the smallest such angle:

Then s must be ordinary! For suppose s were to contain three (or more) points of Π, say, p2, p3, p4 named so that p3 is between p2 and p4:

The connecting line through p3 and p1 (being not ordinary) would contain a third point of Π, say p5, and now either the line p2p5 or the line p4p5 would form a smaller angle with the parallel lines than does s.

### References

1. P. Borwein, W. O. J. Moser, A survey of Sylvester’s problem and its generalizations, Aequationes Mathematicae 40 (1990) 111 – 135
2. P. Erdös, R. Steinberg, Problem 4065 [1943, 65], The American Mathematical Monthly, Vol. 51, No. 3 (Mar., 1944), pp. 169-171
3. J. J. Sylvester, Educational Times, Mathematical Question 11851, vol. 59 (1893), p. 98