MATH-F-420: Differential geometry of Verbitsky

Misha Verbitsky

Université Libre de Bruxelles

MATH-F-420: Differential geometry

Monday 16:00-18:00, P.OF.2058

Announcement for this course.

Slides:

Handouts:

Miscellanea: test problems, exam, etc.

 

Source: http://verbit.ru/ULB/GEOM-2015/

Advertisements

On the diffetential of a mapping 2

In the case {\psi : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m} case, there is a linear map, which is “linear approximation” of {\psi}. In the manifold case, there is a similar linear map, but now it acts between tangent spaces. If {M} and {N} are smooth manifolds and {\psi \colon M \rightarrow N} is a smooth map then for each {m \in M}, the map

\displaystyle d\psi \colon T_mM \rightarrow T_{\psi(m)}N

is defined by

\displaystyle d\psi(v)(f) = v(f \circ \psi)

is called the pushforward. Actually,

\displaystyle d\psi \colon TM \rightarrow TN.

Suppose that {\dim{M} \ge \dim{N}} and {f \colon M \rightarrow N} is a differentiable mapping. We have

Definition 1 The mapping {f} is called a trivial fibration (differentiable) on {N} if there exists a differential manifold {F}, is called fibre of {f}, and a diffeomorphism

\displaystyle \phi \colon M \rightarrow N \times F

such that the following diagram is commutative

sodo

Một ví dụ về mặt chính quy

BT. Cho hàm f(x,y,z)=z^{2}. CMR 0  không là giá trị chính qui của hàm f thế nhưng f^{-1}(0) vẫn là mặt chính qui.

Lời giải. 

Ta có ma trận (f_x \ f_y \ f_z) = (0 \ 0 \ 2z) suy biến tức rankA < 1 khi và chỉ khi z=0, do đó tại điểm (x, y, 0), \forall x, y \in \mathbb{R}, ma trận trên suy biến và do đó là điểm kì dị. Mà f(x,y,0)=0 nên 0 là giá trị tới hạn, hay ko phải giá trị chính qui. Nhưng f^{-1}(0) là mặt phẳng Oxy, đây là mặt trơn nên chính qui.

The tangent plane of a surface and the tangent space of a manifold (at one point)

The tangent plane of a surface
By a tangent vector to S at a point p \in S, we mean the tangent vector \alpha'(0) of a differentiable parametrized curve \alpha: (-\epsilon, \epsilon) \to S with \alpha(0) = p.

What is the tangent plane of a surface? That is a plane which containes all of the tangent vectors of this surface at point p \in S.

Proposition
Let \varphi: U \subset \mathbb{R}^2 \to S be a parametrization of a regular surface S and let q \in U. The vector subspace of dim 2,

d\varphi_q(\mathbb{R}^2) \subset \mathbb{R}^3,

coincides with the set of tangent vectors to S at \varphi(q)

There is a similar situation in here. In the case of manifold, the tangent space is also built from the set of all of tangent vectors of a manifold.

Tangent spaces of a manifold

In Milnor’s book (\cite{Milnor}), the tangent space TM_x at x for arbitrary smooth manifold M \subset \mathbb{R}^k is defined:

Choose a parametrization g : U \to M \subset \mathbb{R}^k of a neighborhood g(U) of x in M, with g(u) = x. We have dg_u: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^k. So the image dg_u(\mathbb{R}^m) of dg_u is equal to TM_x.

References

J. W. Milnor, Topology from differentiable viewpoint, 1965.

M. do Carmo, Differential geometry, curves and surfaces, 1976.

Exercise of diff topo 1

BT của Munkres,

BT1, Cho M là một đa tạp chiều m có biên khác rỗng. Gọi M_0 = M \times 0M_1 = M \times 1 là hai mảnh của M. “Double” của M, ký hiệu là D(M), là không gian tô pô tạo bởi M_0 \cup M_1 bằng cách gắn đồng nhất (x,0) (x,1) với mỗi x \in Bd(M) (biên của M). Chứng minh rằng D(M) là một đa tạp không có biên m chiều.

An exercise of Mayer-Vietories sequence in Hatcher

BT 2.2.31 Hatcher. Dùng dãy Mayer-Vietories để chứng tỏ rằng có một đẳng cấu \widetilde{H}_n(X \vee Y) = \widetilde{H}_n(X) \oplus \widetilde{H}_n(Y) nếu các điểm cơ sở (base points) của XY được đồng nhất trong X \vee Y là co rút biến dạng của các lân cận U \subset XV\subset Y.

—–

Để sử dụng dãy Mayer-Vietories, ta phải tìm đc 2 tập mở AB để X \vee Y = A \cup B. Thật vậy, chọn A = X \vee VY \vee U. 2 tập đều mở nên X \vee Y = int(A) \cup int(B). Mặt khác, A \cap B = U \cap V, theo giả thiết, điểm nối giữa XY là co rút biến dạng của UV, nên khi đồng nhất 2 điểm của x \in Uy \in V thì ta có thể coi x \equiv y là co rút biến dạng của U \cap V. Do đó U \cap V \simeq \{x\}\widetilde{H}_n(U \cap V) = \widetilde{H}_n(point).

Áp dụng dãy Mayer-Vietories thu gọn với AB như trên, ta có dãy khớp dài sau:

... \rightarrow \widetilde{H}_n(A \cap B) \rightarrow \widetilde{H}_n(A) \oplus \widetilde{H}_n(B) \rightarrow \widetilde{H}_n(X \vee Y) \xrightarrow{\partial} \widetilde{H}_{n - 1}(A \cap B) \rightarrow ...\rightarrow \widetilde{H}_0(X \vee Y) \rightarrow 0

Vì đồng điều của A \cap B là đồng điều một điểm nên ta có:

...\rightarrow 0 \rightarrow \widetilde{H}_n(A) \oplus \widetilde{H}_n(B) \rightarrow \widetilde{H}_n(X \vee Y) \xrightarrow{\partial} 0 \rightarrow ...\rightarrow 0 \rightarrow 0

Từ đó ta có: \widetilde{H}_n(X \vee Y) = \widetilde{H}_n(A) \oplus \widetilde{H}_n(B), và vì A \simeq X, B \simeq Y nên \widetilde{H}_n(A) = \widetilde{H}_n(X), \widetilde{H}_n(B) = \widetilde{H}_n(Y). Do đó, ta được đẳng cấu:

\widetilde{H}_n(X \vee Y) = \widetilde{H}_n(X) \oplus \widetilde{H}_n(Y) (đpcm).