## On the diffetential of a mapping 2

In the case ${\psi : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m}$ case, there is a linear map, which is “linear approximation” of ${\psi}$. In the manifold case, there is a similar linear map, but now it acts between tangent spaces. If ${M}$ and ${N}$ are smooth manifolds and ${\psi \colon M \rightarrow N}$ is a smooth map then for each ${m \in M}$, the map

$\displaystyle d\psi \colon T_mM \rightarrow T_{\psi(m)}N$

is defined by

$\displaystyle d\psi(v)(f) = v(f \circ \psi)$

is called the pushforward. Actually,

$\displaystyle d\psi \colon TM \rightarrow TN.$

Suppose that ${\dim{M} \ge \dim{N}}$ and ${f \colon M \rightarrow N}$ is a differentiable mapping. We have

Definition 1 The mapping ${f}$ is called a trivial fibration (differentiable) on ${N}$ if there exists a differential manifold ${F}$, is called fibre of ${f}$, and a diffeomorphism

$\displaystyle \phi \colon M \rightarrow N \times F$

such that the following diagram is commutative

## On the differential of a mapping

From on Warner’s book.

Smooth curve on manifold ${M}$:

A ${C^\infty}$ mapping ${\alpha : (a, b) \rightarrow M}$. Let ${t \in (a, b)}$, we define the tangent vector of the curve ${\alpha}$ at ${t}$ is the vector

$\displaystyle d\alpha\bigg(\dfrac{d}{dt}\bigg|_{t = 0}\bigg) \in T_{\alpha(0)}M.$

we apply the formula

$\displaystyle d\psi(v)(g) = v(g \circ \psi),$

where ${g}$ is an any function on ${M}$.

Put ${\psi = \alpha(t)}$ and ${v = \dfrac{d}{dt}\alpha(t)\big|_{t = 0}}$, the above formula implies

$\displaystyle d\alpha(\frac{d}{dt}\big|_{t=0})(f) = (\frac{d}{dt}\big|_{t=0})(f \circ \alpha) = \frac{d}{dt}(f \circ \alpha)\big|_{t=0}.$

This is directional derivative.

## Một ví dụ về mặt chính quy

BT. Cho hàm $f(x,y,z)=z^{2}$. CMR $0$  không là giá trị chính qui của hàm $f$ thế nhưng $f^{-1}(0)$ vẫn là mặt chính qui.

Lời giải.

Ta có ma trận $(f_x \ f_y \ f_z) = (0 \ 0 \ 2z)$ suy biến tức $rankA < 1$ khi và chỉ khi $z=0$, do đó tại điểm $(x, y, 0), \forall x, y \in \mathbb{R}$, ma trận trên suy biến và do đó là điểm kì dị. Mà $f(x,y,0)=0$ nên $0$ là giá trị tới hạn, hay ko phải giá trị chính qui. Nhưng $f^{-1}(0)$ là mặt phẳng Oxy, đây là mặt trơn nên chính qui.

## The tangent plane of a surface and the tangent space of a manifold (at one point)

The tangent plane of a surface
By a tangent vector to $S$ at a point $p \in S$, we mean the tangent vector $\alpha'(0)$ of a differentiable parametrized curve $\alpha: (-\epsilon, \epsilon) \to S$ with $\alpha(0) = p$.

What is the tangent plane of a surface? That is a plane which containes all of the tangent vectors of this surface at point $p \in S$.

Proposition
Let $\varphi: U \subset \mathbb{R}^2 \to S$ be a parametrization of a regular surface $S$ and let $q \in U$. The vector subspace of dim $2$,

$d\varphi_q(\mathbb{R}^2) \subset \mathbb{R}^3,$

coincides with the set of tangent vectors to $S$ at $\varphi(q)$

There is a similar situation in here. In the case of manifold, the tangent space is also built from the set of all of tangent vectors of a manifold.

Tangent spaces of a manifold

In Milnor’s book (\cite{Milnor}), the tangent space $TM_x$ at $x$ for arbitrary smooth manifold $M \subset \mathbb{R}^k$ is defined:

Choose a parametrization $g : U \to M \subset \mathbb{R}^k$ of a neighborhood $g(U)$ of $x$ in $M$, with $g(u) = x$. We have $dg_u: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^k$. So the image $dg_u(\mathbb{R}^m)$ of $dg_u$ is equal to $TM_x$.

References

J. W. Milnor, Topology from differentiable viewpoint, 1965.

M. do Carmo, Differential geometry, curves and surfaces, 1976.

## Course về topo vi phân của GS Jae Choon Cha

GS Jae Choon Cha hiện đang giảng dạy tại trường Postech của Hàn Quốc. Ông có dạy một course về tô pô vi phân. Link: http://gt.postech.ac.kr/~jccha/differential-topology-2015-spring/

Đây là phần bài tập về nhà (phần 1) của course

## Exercise of diff topo 1

BT của Munkres,

BT1, Cho $M$ là một đa tạp chiều $m$ có biên khác rỗng. Gọi $M_0 = M \times 0$$M_1 = M \times 1$ là hai mảnh của $M$. “Double” của $M$, ký hiệu là $D(M)$, là không gian tô pô tạo bởi $M_0 \cup M_1$ bằng cách gắn đồng nhất $(x,0)$$(x,1)$ với mỗi $x \in Bd(M)$ (biên của M). Chứng minh rằng $D(M)$ là một đa tạp không có biên $m$ chiều.

## An exercise of Mayer-Vietories sequence in Hatcher

BT 2.2.31 Hatcher. Dùng dãy Mayer-Vietories để chứng tỏ rằng có một đẳng cấu $\widetilde{H}_n(X \vee Y) = \widetilde{H}_n(X) \oplus \widetilde{H}_n(Y)$ nếu các điểm cơ sở (base points) của $X$$Y$ được đồng nhất trong $X \vee Y$ là co rút biến dạng của các lân cận $U \subset X$$V\subset Y$.

—–

Để sử dụng dãy Mayer-Vietories, ta phải tìm đc 2 tập mở $A$$B$ để $X \vee Y = A \cup B$. Thật vậy, chọn $A = X \vee V$$Y \vee U$. 2 tập đều mở nên $X \vee Y = int(A) \cup int(B)$. Mặt khác, $A \cap B = U \cap V$, theo giả thiết, điểm nối giữa $X$$Y$ là co rút biến dạng của $U$$V$, nên khi đồng nhất 2 điểm của $x \in U$$y \in V$ thì ta có thể coi $x \equiv y$ là co rút biến dạng của $U \cap V$. Do đó $U \cap V \simeq \{x\}$$\widetilde{H}_n(U \cap V) = \widetilde{H}_n(point)$.

Áp dụng dãy Mayer-Vietories thu gọn với $A$$B$ như trên, ta có dãy khớp dài sau:

$... \rightarrow \widetilde{H}_n(A \cap B) \rightarrow \widetilde{H}_n(A) \oplus \widetilde{H}_n(B) \rightarrow \widetilde{H}_n(X \vee Y) \xrightarrow{\partial} \widetilde{H}_{n - 1}(A \cap B) \rightarrow ...\rightarrow \widetilde{H}_0(X \vee Y) \rightarrow 0$

Vì đồng điều của $A \cap B$ là đồng điều một điểm nên ta có:

$...\rightarrow 0 \rightarrow \widetilde{H}_n(A) \oplus \widetilde{H}_n(B) \rightarrow \widetilde{H}_n(X \vee Y) \xrightarrow{\partial} 0 \rightarrow ...\rightarrow 0 \rightarrow 0$

Từ đó ta có: $\widetilde{H}_n(X \vee Y) = \widetilde{H}_n(A) \oplus \widetilde{H}_n(B)$, và vì $A \simeq X, B \simeq Y$ nên $\widetilde{H}_n(A) = \widetilde{H}_n(X), \widetilde{H}_n(B) = \widetilde{H}_n(Y)$. Do đó, ta được đẳng cấu:

$\widetilde{H}_n(X \vee Y) = \widetilde{H}_n(X) \oplus \widetilde{H}_n(Y)$ (đpcm).