Về một bài toán trong kỳ thi lần 2 (2016-2017), môn Đại số

On 03/04/201713/03/2019 By hpdungIn Linear AlgebraLeave a comment

Bài toán trong kỳ thi lại như sau:

Câu 3. Cho ${W_1 = \{(x,y,0) | x,y \in \mathbb{R}\}}$ , ${W_2}$ là không gian vec tơ con của ${\mathbb{R}^3}$ sinh bởi hai vec tơ ${(1,2,3)}$ và ${(1,-1,1)}$ .

Tìm điều kiện ${x, y, z}$ để ${u = (x,y,z) \in W_2}$ .
Tìm ${W_1 + W_2}$ .
Tìm ${W_1 \cap W_2}$ .

Hầu hết các em chỉ làm được ý 3 và làm sai hai ý còn lại. Ý 1 nhiều em đưa ra được hệ phương trình nhưng lại lúng túng.

1. Có thể giải đơn giản như sau: ${u = (x,y,z) \in W_2}$ nếu và chỉ nếu tồn tại ${a, b}$ sao cho ${(x,y,z) = a(1,2,3) + b(1,-1,1)}$ . Điều này tương đương với hệ sau có nghiệm ${a, b}$ :

$\displaystyle \begin{cases} a+b &=x\\ 2a-b&=y\\ 3a+b&=z \end{cases}.$

Đến đây các em có thể dùng hạng ma trận để đưa ra liên hệ giữa ${x, y, z}$ hoặc có thể xử lý trực tiếp hệ:

Từ hai pt đầu có ${3a = x+y}$ , pt thứ 3 có ${3a = z - b}$ do đó: ${x+y = z - b}$ , mặt khác ${b= 2x-y/3}$ nên ${x + y = z - 2x/3 + y/3}$ và kéo theo ${5x + 2y - 3z = 0}$ , đó chính là điều kiện cần tìm.

2. Dựa vào ý 1, dự đoán rồi chứng minh $\mathbb{R}^3 = W_1 + W_2$ . Tại sao dự đoán như này? Vì quan sát cơ sở của hai không gian con $W_1, W_2$ , hợp của hai cơ sở này có đến 3 vec tơ độc lập tuyến tính.

Có thể phân tích $(x,y,z) = (x-3z/5,y, 0) + (3z/5, 0 ,z)$ .

A property of span of S

On 06/10/201606/10/2016 By hpdungIn Linear AlgebraLeave a comment

As we know, ${S}$ is a nonempty subset of a vector space ${V}$ , then the set ${W}$ consisting of all linear combinations of elements of ${S}$ is a subspace of ${V}$ .

The subspace ${W}$ described in above fact is called the span of ${S}$ {or the subspace generated by the elements of ${S}$ ).

We have the following theorem in the book ‘Linear algebra’ of Friedberg et al.

Theorem 1 Let ${S}$ be a linearly independent subset of a vector space ${V}$ , and let ${v}$ be an element of ${V}$ that is not in ${S}$ . Then ${S \cup \{v\}}$ is linearly dependent if and only if ${ v \in span(S)}$ .

Some properties of span of a vector space

On 14/10/201504/01/2016 By hpdungIn Linear AlgebraLeave a comment

In this post, we consider “span” of a vector space $V$ . As we know, definition of span is:

Definition 1 Let ${\{v_1, v_2, \dots, v_n\}}$ be a finite set of vectors in a vector space ${V}$ . The subset of ${V}$ spanned by ${\{v_1, v_2, \dots, v_n\}}$ is the set of all linear combinations of ${v_1, v_2, \dots, v_n}$ . This set is called the span of ${\{v_1, v_2, \dots, v_n\}}$ and is denoted

$\displaystyle \text{span}\{v_1, v_2, \dots, v_n\}.$

For example, you can see

Example 1 Let ${\{v_1=(1,0), v_2=(1,1)\}}$ , we have ${span\{v_1, v_2\}=\{x(1,0) + y(1,1)| x, y \in \mathbb{R}\}}$ . Of course, ${span\{v_1, v_2\} \subset \mathbb{R}^2}$ . It is easy to see that ${\mathbb{R}^2 \subset span\{v_1, v_2\}}$ because ${v = (x',y') \in \mathbb{R}^2 \Rightarrow (x',y') = x(1,0)+y(1,1) \Leftrightarrow \begin{cases} x'&= x+ y\\ y'& = y \end{cases} }$ . That system has always solution ${x, y \in \mathbb{R}}$ . This implies ${span\{v_1, v_2\} = \mathbb{R}^2}$ .

We have the following result

Theorem 2 The span of any finite set ${\{v_1, v_2, \dots, v_n\}}$ of vectors in a vector space ${V}$ is a subspace of ${V}$ .

Some properties:

Suppose ${W}$ is a subspace of a vector space ${V}$ . Prove that if ${v_1, v_2, \dots, v_n \in W}$ , then ${span\{v_1, \dots, v_n\} \subseteq W}$ .
Suppose ${v_1, \dots, v_m}$ and ${w_1, \dots, w_n}$ are vectors in a vector space satisfy:
if ${w_1, \dots, w_n \in span\{v_1, \dots, v_m\}}$ and ${v_1, \dots, v_m \in span\{w_1, \dots, w_n\}}$ then ${span\{v_1, \dots, v_m\} = span\{w_1, \dots, w_n\}}$ .
…