Về một bài toán trong kỳ thi lần 2 (2016-2017), môn Đại số

Bài toán trong kỳ thi lại như sau:

Câu 3. Cho {W_1 = \{(x,y,0) | x,y \in \mathbb{R}\}}, {W_2} là không gian vec tơ con của {\mathbb{R}^3} sinh bởi hai vec tơ {(1,2,3)}{(1,-1,1)}.

  1. Tìm điều kiện {x, y, z} để {u = (x,y,z) \in W_2}.
  2. Tìm {W_1 + W_2}.
  3. Tìm {W_1 \cap W_2}.

Hầu hết các em chỉ làm được ý 3 và làm sai hai ý còn lại. Ý 1 nhiều em đưa ra được hệ phương trình nhưng lại lúng túng.

1. có thể giải đơn giản như sau: {u = (x,y,z) \in W_2} nếu và chỉ nếu tồn tại {a, b} sao cho {(x,y,z) = a(1,2,3) + b(1,-1,1)}. Điều này tương đương với hệ sau có nghiệm {a, b}:

\displaystyle \begin{cases} a+b &=x\\ 2a-b&=y\\ 3a+b&=z \end{cases}.

Đến đây các em có thể dùng hạng ma trận để đưa ra liên hệ giữa {x, y, z} hoặc có thể xử lý trực tiếp hệ:

Từ hai pt đầu có {3a = x+y}, pt thứ 3 có {3a = z - b} do đó: {x+y = z - b}, mặt khác {b= 2x-y/3} nên {x + y = z - 2x/3 + y/3} và kéo theo {5x + 2y - 3z = 0}, đó chính là điều kiện cần tìm.

2. Dựa vào ý 1, dự đoán rồi chứng minh \mathbb{R}^3 = W_1 + W_2. Tại sao dự đoán như này? Vì quan sát cơ sở của hai không gian con W_1, W_2, hợp của hai cơ sở này có đến 3 vec tơ độc lập tuyến tính.

Có thể phân tích (x,y,z) = (x-3z/5,y, 0) + (3z/5, 0 ,z).

A property of span of S

As we know, {S} is a nonempty subset of a vector space {V}, then the set {W} consisting of all linear combinations of elements of {S} is a subspace of {V}.

The subspace {W} described in above fact is called the span of {S} {or the subspace generated by the elements of {S}).

We have the following theorem in the book ‘Linear algebra’ of Friedberg et al.

Theorem 1 Let {S} be a linearly independent subset of a vector space {V}, and let {v} be an element of {V} that is not in {S}. Then {S \cup \{v\}} is linearly dependent if and only if { v \in span(S)}.

Some properties of span of a vector space

In this post, we consider “span” of a vector space V. As we know, definition of span is:

Definition 1 Let {\{v_1, v_2, \dots, v_n\}} be a finite set of vectors in a vector space {V}. The subset of {V} spanned by {\{v_1, v_2, \dots, v_n\}} is the set of all linear combinations of {v_1, v_2, \dots, v_n}. This set is called the span of {\{v_1, v_2, \dots, v_n\}} and is denoted

\displaystyle \text{span}\{v_1, v_2, \dots, v_n\}.

For example, you can see

Example 1 Let {\{v_1=(1,0), v_2=(1,1)\}}, we have {span\{v_1, v_2\}=\{x(1,0) + y(1,1)| x, y \in \mathbb{R}\}}. Of course, {span\{v_1, v_2\} \subset \mathbb{R}^2}. It is easy to see that {\mathbb{R}^2 \subset span\{v_1, v_2\}} because {v = (x',y') \in \mathbb{R}^2 \Rightarrow (x',y') = x(1,0)+y(1,1) \Leftrightarrow \begin{cases} x'&= x+ y\\ y'& = y \end{cases} }. That system has always solution {x, y \in \mathbb{R}}. This implies {span\{v_1, v_2\} = \mathbb{R}^2}.

We have the following result

Theorem 2 The span of any finite set {\{v_1, v_2, \dots, v_n\}} of vectors in a vector space {V} is a subspace of {V}.

Some properties:

  1. Suppose {W} is a subspace of a vector space {V}. Prove that if {v_1, v_2, \dots, v_n \in W}, then {span\{v_1, \dots, v_n\} \subseteq W}.
  2. Suppose {v_1, \dots, v_m} and {w_1, \dots, w_n} are vectors in a vector space satisfy:
    if {w_1, \dots, w_n \in span\{v_1, \dots, v_m\}} and {v_1, \dots, v_m \in span\{w_1, \dots, w_n\}} then {span\{v_1, \dots, v_m\} = span\{w_1, \dots, w_n\}}.

References:

R. Messer, Linear algebra gateway to mathematics, Harper Collins College Publishers

D. Lay, Linear algebra and its applications, Addison-Wesley, 2012.

(cont.)