Một số bài tập liên quan về tích vô hướng

1, Trong đại số tuyến tính, tích vô hướng được định nghĩa là một dạng song tuyến tính đối xứng, xác định dương.

Dạng song tuyến tính \eta: V \times V \to \mathbb{R} là:

  • Đối xứng nếu \eta(u,v) = \eta(v,u).
  • Xác định nếu \eta(u,u) = 0 \Rightarrow u = \theta .
  • Không âm nếu \eta(u,u) \ge 0, \forall u.

Chẳng hạn trên \mathbb{R}^3, \langle u, v \rangle = c_1 x_1y_1 + c_2x_2y_2+c_3x_3y_3 với c_i > 0 là một tích vô hướng.

2, Một số tính chất của tích vô hướng: Đặt: \|u\| = \sqrt{\langle u,u \rangle} (Đây là độ dài của véc tơ u, đọc là chuẩn của u). Khi đó ta có một số tính chất sau:

  • Bất đắng thức Cauchy-Schwarz: Với u, v \in V thì |\langle u,v\rangle| \le \|u\|.\|v\|.
  • Khai triển Fourier: v = \langle v, e_1 \rangle e_1 + ... + \langle v, e_n \rangle e_n với \{e_1, \dots, e_n\} là một cơ sở trực chuẩn của V.
  • \|v\|^2 = \langle v, e_1 \rangle^2 + \dots + \langle v, e_n \rangle^2 với cơ sở trực chuẩn như trên.

Sau đây là một số bài tập cho các bạn luyện tập:

  1. Chứng minh BĐT Cauchy-Schwarz.
  2. Chứng minh khai triển Fourier trên.
  3. Chứng minh định lý Pythagorean: Nếu u, v trực giao với nhau thì \|u + v\|^2 = \|u\|^2 + \|v\|^2.
  4. Chứng minh đẳng thức hình bình hành: Nếu u, v \in V thì \|u + v\|^2 + \|u - v\|^2 = \|u\|^2 + \|v\|^2.
  5. Cho u_1, u_2 là hai vec tơ trực giao khác không. Với mọi v \in V, xét v^* = \dfrac{\langle v, u_1 \rangle}{\langle u_1, u_1 \rangle} u_1 + \dfrac{\langle v,u_2\rangle}{\langle u_2,u_2\rangle} u_2. Chứng minh rằng \langle v - v^*, u_1 \rangle = \langle v - v^*, u_2\rangle = 0.

 

Advertisements

Lòng trắc ẩn

Sự mở lòng – hay lòng trắc ẩn – đối với con người chính là cội nguồn xây dựng nên thái độ sống cho mỗi người. Lòng trắc ẩn là sự cảm thông sâu sắc đối với mọi người, sẵn sàng đặt mình vào vị trí của người khác, là tạm thời quên mình để hiểu người khác và học cách yêu thương họ. Qua đó, bạn sẽ hiểu hơn về những khó khăn, nỗi đau khổ cũng như những lúc tuyệt vọng của người khác – những điều bạn chưa từng trải qua. Trong quá trình nhận thức vấn đề và giúp đỡ người khác, chúng ta đồng thời mở rộng lòng mình cũng như củng cố lòng biết ơn đối với người khác.

Lòng trắc ẩn là một dạng cảm xúc bạn có thể phát triển bằng cách luyện tập. Nó bao gồm hai giai đoạn: ý định và hành động. Ý định là giai đoạn khởi đầu nhắc nhở bạn mở lòng với người khác. Còn hành động là giai đoạn bạn sẽ thực hiện ý định đó. Bạn có thể thể hiện lòng trắc ẩn bằng những cách hết sức đơn giản như góp một ít tiền bac, thời gian (hay cả hai) để giúp đỡ một ai đó đang trong hoàn cảnh khó khăn, hoặc đôi khi bạn chỉ cần nở một nụ cười thật tươi và cất lời chào ai đó trên đường. Điều quan trọng không phải bạn làm được gì, mà là bạn có làm hay không.

Lòng trắc ẩn còn giúp bạn tăng cường sự biết ơn đối với người khác khi lôi kéo sự chú ý của bạn khỏi những điều nhỏ nhặt mà hầu hết chúng ta thường nghiệm trọng hóa chúng. Khi bạn dành thời gian suy ngẫm về những điều kỳ diệu trong cuộc sống – dù là nhỏ bé – món quà của ánh mắt, của tình yêu cùng tất cả những thứ khác, chúng đều giúp nhắc nhở rằng nhiều thứ bạn nghĩ là to tát thật ra chỉ là những “chuyện nhỏ” mà thôi.

Biên soạn theo “Tất cả đều là chuyện nhỏ” Richard Carlson. NXB Tổng hợp TP HCM.

Link: http://www.tamly.com.vn/home/?act=Share-Detail-c-1-1814-Long_trac_an.html

Tích vô hướng trong không gian các hàm liên tục

BT. Gọi C_{[a,b]} là không gian các hàm liên tục trên đoạn [a,b]. Chứng minh rằng \langle f,g \rangle= \int_{a}^bf(t)g(t) dt là một tích vô hướng trên C_{[a,b]}.

BG. Dễ thấy các tính chất song tuyến tính và dương của \langle f, f \rangle . Ta chỉ còn chứng minh tính xác định của hàm này. Tức là chứng minh rằng nếu \langle f, f \rangle= 0 thì f(t) = 0, \forall t \in [a,b].

Các bạn chứng minh điều này thế nào?

(tiếp theo – 23/12/14)

Vấn đề trên chuyển về bài toán sau: Cho hàm h(t) liên tục và không âm trên đoạn [a,b], chứng minh rằng \int_a^b h(t) dt =0 thì kéo theo h(t) =0, \forall t \in [a,b].

Gợi ý: Chỉ hàm liên tục mới có tính chất này. Chẳng hạn các bạn có thể lấy một hàm không liên tục như sau:

h(t) = 0, \forall t \ne t_0h(t_0) = c > 0 thì ta có thể thấy hàm không liên tục ko thỏa mãn đầu bài. Vậy hàm liên tục nếu khác 0 tại một điểm thì sẽ khác 0 tại những điểm rất gần nó, cụ thể là do nó liên tục nên khác 0 tại một lân cận của điểm t_0.

(tiếp theo – 26/12/14) Phản chứng. Giả sử tồn tại t_0 sao cho h(t_0) >0, do tính chất liên tục nên tồn tại một khoảng con (\alpha, \beta) sao cho h(t) > 0 trên đoạn ấy. Từ đó \int_a^b h(t)dt = \int_{\alpha}^\beta h(t) dt >0. Mâu thuẫn. Từ đó ta có đpcm.

Cách dạy trong trường học Mỹ

Nguồn bài viết: http://vnexpress.net/tin-tuc/the-gioi/nguoi-viet-5-chau/cach-day-trong-truong-hoc-my-2178061.html
Chương trình học ở Mỹ vô cùng khó khăn và nặng nề. Nếu bạn học 10 tín chỉ (tức là 2 lớp) bạn đọc ít nhất hai quyển sách trung bình 700 trang, đọc phải hiểu kỹ và phải nhớ và phải làm vô số bài tập nữa.
d

Ảnh minh họa bloom.edu.

Vì tiếng Anh không phải là tiếng mẹ đẻ cho nên dù bạn khá Anh văn nhưng bạn vẫn phải dò từ điển liên tục, có khi một trang sách bạn đọc cả một tiếng mới hiểu, và bạn phải đọc đi đọc lại nhiều lần mới hiểu được cặn kẽ. Mà bài học, kiến thức mới thì liên tục, có khi bạn chưa hiểu bài thì đã thấy test rồi, bài nào cũng test, tuần nào cũng có test.

Các loại test ở trường Mỹ thì tuỳ giáo viên quy định, có những giáo viên có pop quiz (giống như kiểm tra 15 phút ở Việt Nam mình). Tất nhiên những test này không được báo trước, thường thì bạn phải trả lời những câu hỏi giáo viên đưa ra trong vòng 5, 10 hoặc 15 phút. Bên cạnh đó mỗi bài học đều có những quiz test. Thường thì giáo viên họ đăng lên mạng, bạn làm trên máy tính ở mọi nơi. Bạn sẽ ngạc nhiên vì đã là test online thì bạn được phép về nhà làm và có thể mở sách ra xem. Nhưng loại test này không dễ dàng bao giờ, bạn càng mở sách ra đọc dò tìm câu trả lời bạn càng có nguy cơ lấy điểm 0. Vì sao? Quy định chung của giáo dục của Mỹ là suy luận, tức là bạn phải nắm thật rõ kiến thức và từ kiến thức bạn đã học bạn sẽ suy luận ra vấn đề thực tế. Có nhiều câu hỏi khi đọc lên bạn chẳng thấy trong bài học đâu cả, nhưng bạn phải đọc kỹ và suy luận áp dụng kiến thức đã học và tìm được câu trả lời.

Thường thì những test dạng trắc nghiệm (bạn chọn câu trả lời A, hay B, C, D), có nhiều câu trả lời gần như đánh lừa bạn về câu chữ, kiến thức (chúng tôi hay gọi là cheat), nó lắt léo vô cùng. Giáo viên Mỹ không bao giờ ra câu hỏi đại khái như là: hãy viết định nghĩa này, công thức kia… giống giáo viên Việt Nam. Ở Việt Nam bạn chỉ thuộc bài và viết lý thuyết đúng như trong sách học là lấy điểm dễ dàng. Ở Mỹ không bao giờ làm bài như vậy cả, cho nên cho dù bạn hiểu bài đó, bạn thuộc bài đó nhưng chưa chắc gì bạn làm bài được vì bạn cần phải có óc suy luận. Mà đa số cách giáo dục ở Việt Nam là lý thuyết, ít có sự suy luận nên du học sinh Việt Nam rất khó khăn trên con đường thành công về học vấn ở Mỹ. Và khi bạn làm bài trên mạng thì thời gian chỉ có hạn, thường thì một câu là 1 phút 30 giây, hoặc 2 phút, nhưng nếu thời gian càng dài thì bạn đừng mừng vội vì câu hỏi càng khó, cho nên bạn không có thời gian để mở sách ra xem đâu (mặc dù chẳng ai biết).

Loại test cuối cùng là exam, tùy bộ môn và giáo viên, có lớp có 4- 5 exam, hoặc có lớp có 2 exam, bạn phải làm tại lớp (giống như kiểm tra một tiết ở Việt Nam). Đề bài cũng toàn là phải suy luận, và 55 phút bạn phải trả lời 45 hoặc 50 câu hỏi. Càng nhiều exam thì bạn càng có lợi, vì bạn có cơ hội gỡ điểm cho những bài bạn làm không tốt. Nhưng nếu chỉ có 2 exam trong một môn thì bạn phải rất cẩn thận vì không có cơ hội gỡ điểm nhiều. Vì nếu chẳng may bạn không khỏe, hay bạn mất tinh thần làm bài không tốt, thì xem như bạn tiêu rồi, vì thang điểm exam này rất cao, quyết định 70% kết quả học của bạn. Có những giáo viên cộng thêm điểm homework, điểm hiện diện của bạn trên lớp, nhưng cuối cùng điểm exam vẫn xác định chủ yếu trong điểm số cuối cùng của bạn.

Bên cạnh đó có một số giáo viên yêu cầu bạn phải nộp cả giấy nháp làm bài cho họ, hoặc khi bạn viết bài luận văn bạn phải giữ lại bài nháp và nộp cho giáo viên (nếu họ yêu cầu). Vì giáo viên họ muốn biết đích xác là chính bạn làm hay không, hay bạn copy, mặc dầu thường thường khi ra đề exam trên lớp là có đề 1, đề 2 cho hai người ngồi kế nhau. Bạn thấy không giáo viên họ cẩn thận như vậy đó, nhưng đại đa số sinh viên Mỹ họ rất có ý thức, không bao giờ họ copy hoặc hỏi bài khi làm test, không biết làm họ nộp giấy trắng. Bạn nên nhớ rằng nếu bạn có hành vi gian lận thì ngay lập tức bạn bị đuổi ra khỏi trường và sẽ không trường học nào ở Mỹ nhận bạn vào học cả, dù chỉ một lần bạn gian lận.

Điểm số ở trường học Mỹ họ quy định là 70% bạn được C, 80% bạn được B-, và 90% được A-. Có những trường điểm trung bình 80% bạn được C. Nhưng nếu bạn học mà được C hoài thì xem như bạn không đủ điểm để transfer, thường thì GPA (điểm trung bình cộng tất cả các môn) của bạn phải ít nhất là 3,5 (tức là từng môn học đạt ít nhất là 85% đạt B trở lên) thì bạn mới có hy vọng được trường đại học nhận. Bạn thấy đó điểm số trung bình là C (tức điểm 7 tính trên hệ số 10) thì bạn pass lớp, nhưng bạn sẽ không được vào đại học, trong khi điểm trung bình ở Việt Nam là 5 điểm, điểm 7 xem như là khá. Do đó nếu một học sinh hay sinh viên Việt Nam có đạt loại giỏi ở Việt Nam cũng chưa chắc gì học tốt ở Mỹ.

Điểm số thì khắt khe, quy tắc giảng dạy thì đòi hỏi phải tư duy, cho nên áp lực đè nặng lên du học sinh rất nhiều. Khi bạn mới đến Mỹ học các lớp Anh văn rồi toán, bạn sẽ không thấy hết cái sự khó khăn trên, chỉ khi nào bạn vào những môn khác thì bạn sẽ thật sự cảm thấy là “nuốt không vô”. Chúng tôi thường nói với những du học sinh mới sang học là “học chừng hai khóa thôi thì thấy xanh mặt mày liền”, bao nhiêu mơ ước về học bổng về sự tiến xa hơn đều tiêu tan, sự chán nản sẽ dâng trào.

Nhưng tất cả mọi cánh cửa đều có chìa khóa để mở, và các vấn đề đều có cách giải quyết nhưng quan trọng là theo hướng tích cực hay tiêu cực tùy mỗi người chọn. Ý tôi muốn nói có những bí quyết giúp bạn thành công vượt qua những đòi hỏi cao của trường học Mỹ và bạn đĩnh đạc tiến thẳng vào đại học. Nhưng cũng có những mánh khoé gian lận mà du học sinh Việt Nam áp dụng để về đến đích, nhưng cái gì thật sự không có thực lực thì cuối cùng sẽ bị đào thải mà thôi, có khi bạn sẽ trả giá cho sự gian lận của mình. Nên nhớ rằng giáo dục ở Mỹ đánh giá rất rõ về khả năng thật sự của bạn. Các cánh cửa trường luôn mở rộng chào đón bạn, nhưng có mấy ai đi ra được với tấm bằng cấp trên tay, dù bạn có gian lận thì cũng không đạt được gì cả. Xin hẹn bài viết sau tôi sẽ viết về đề tài gian lận của du học sinh Việt Nam.

Mèo Con

Puiseux series

In this note, we discuss about Puiseux series and its appearance when we solve the equation f(x,y) = 0. We refer to the book “Algebraic curves” of R.Walker.

Puiseux series are fractional power series:

\bar{a}(x)= a_1x^{\frac{m_1}{n_1}}+a_2x^{\frac{m_2}{n_2}}+ \dots where a_i \ne 0, m_1/n_1 < m_2/n_2 < \dots.

Order of series: O(\bar{a}(x)) = m_1/n_1.

Theorem. K(x)^* is algebraically closed.

(K(x)^* – the fieldof fractional power series).

By the proof of this theorem, we can see that f(x,y) = 0 (an algebraic curve), we can solve \bar{y}(x) (Puiseux series) such that f(x, \bar{y}) = 0.