Bài tập về phép tính đạo hàm

Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau bằng các dùng định nghĩa:

a. x^2 - 3x tại x_0 = 2.

b. x^3 - 3x^2 + 3 tại x_0 = 1.

c. x^4 tại x_0 bất kì.

Bài 2. Cho parabol y=x^2 và hai điểm A(2;4), B(2 + \Delta x; 4 + \Delta y) trên parabol đó.

a. Tính hệ số góc của cát tuyến AB biết \Delta x lần lượt bằng 1; 0.1; 0.01.

b. Tính hệ số góc của tiếp tuyến của parabol đã cho tại điểm A.

Bài 3.

a. Tính đạo hàm của hàm số y=x.\sin 2x bằng định nghĩa.

b. Tính đạo hàm của hàm số f(x)=\begin{cases} \dfrac{\sin^2 x}{x} & khi x \ne 0\\ 0 & khi x=0\end{cases}.

c. Lập pt tiếp tuyến của đường cong sau:

y = \dfrac{-x^2 + 2x +1}{x-1} tại A(2;1).

Advertisements

GS Milnor nhận giải thưởng Abel

The Abel Prize awarded to John Milnor, Stony Brook University, NY

The Norwegian Academy of Science and Letters has decided to award the Abel Prize for 2011 to John Milnor, Institute for Mathematical Sciences, Stony Brook University, New York “for pioneering discoveries in topology, geometry and algebra”. The President of the Norwegian Academy of Science and Letters, Øyvind Østerud, announced the winner of this year’s Abel Prize at the Academy in Oslo today, 23 March.


John Milnor will receive the Abel Prize from His Majesty King Harald at an award ceremony in Oslo on 24 May. The Abel Prize recognizes contributions of extraordinary depth and influence to the mathematical sciences and has been awarded annually since 2003. It carries a cash award of NOK 6,000,000 (close to EUR 750,000 or USD 1 mill.)

John Milnor’s profound ideas and fundamental discoveries have largely shaped the mathematical landscape of the second half of the 20th century. All of Milnor’s work display features of great research: profound insights, vivid imagination, striking surprises and supreme beauty. He receives the 2011 Abel Prize “for pioneering discoveries in topology, geometry and algebra,” to quote the Abel committee.

In the course of 60 years, John Milnor has made a deep mark on modern mathematics. Numerous mathematical concepts, results and conjectures are named after him. In the literature we find Milnor exotic spheres, Milnor fibration, Milnor number and many more.
Yet the significance of Milnor’s work goes far beyond his own spectacular results. He has also written tremendously influential books, which are widely considered to be models of fine mathematical writing.

Awards and honours

John Milnor has received many awards and honours. He received the Fields Medal in 1962 for his work in differential topology when he was only 31. Recently he was awarded the 2011 Leroy P. Steele Prize for Lifetime Achievement by the American Mathematical Society. Milnor has previously won two other Steele Prizes from the AMS: for Mathematical Exposition (2004) and for Seminal Contribution to Research (1982). In 1989 Milnor received the Wolf Prize in Mathematics.
John Milnor received the US National Medal of Science in 1967. He was elected as a member of the National Academy of Sciences in 1963. Since 1994, he has been a foreign member of the Russian Academy of Sciences, and in 2004 he became a member of the European Academy of Sciences, Arts and Letters.

The Abel Prize

The Niels Henrik Abel Memorial Fund was established in 2002 to award the Abel Prize for outstanding scientific work in the field of mathematics. The Abel Prize was awarded for the first time in 2003.
The prize is awarded by the Norwegian Academy of Science and Letters. The choice of Abel Laureate is based on the recommendation of the Abel Committee, which consists of five internationally recognized mathematicians.

 

http://www.abelprisen.no/en/

Present Perfect

Simply form: Have/has + V-participle.

Use:

  1. The action in the past has a result now. Hành động trong quá khứ có kết quả hiện tại. Example: I can’t find my bag. Have you seen it?
  2. We often use the present perfect to give new information or to announce a recent happening. Example: Ow! I’ve cut my finger.

Trạng từ (adverb) dùng trong HTHT, điển hình: just, already, yet.

Ex: Hi. Have you just arrived?

Phân biệt been/gone:

Ex: Jim is away on holiday. He has gone to Spain. (= he is there now or on his way there)

Jane is back home from holiday now. She has been to Italy. (= she has now come back from Italy).

Bài tập về hàm liên tục

Khi làm bài tập về xét hàm số liên tục. Các em chỉ cần nắm vững điều kiện liên tục của hàm số:

1. \lim\limits_{x \to x_0}f(x) = f(x_0).

2. \lim\limits_{x \to x_0^+}f(x) = \lim\limits_{x \to x_0^-}f(x) = f(x_0).

Thực ra hai điều kiện trên là một. Các em thử suy nghĩ xem vì sao nhé??

Bài tập.

Bài 1. a. Xét tính liên tục của hàm f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^4-1}{x+1} & when \ x \ne -1\\ -4 & when \ x = -1\end{cases} trên \mathbb{R}.

b. Xét tính liên tục của hàm số sau: f(x) = \begin{cases} \dfrac{(x - \sqrt{2x-1})(x-11)}{x^2 - 12x +11} & when \ x \ne 1\\ 0 & when \ x = 1\\ \frac{11}{10} & when \ x=11\end{cases} trên \mathbb{R}.

Bài 2. a. Tìm a để hàm số sau f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sqrt{1-\pi x}-\sqrt{1+x}}{x} & when \ x \ne 0\\ 2x^2+5ax - 5a & when \ x = 0\end{cases} liên tục tại x=0.

b. Xét tính liên tục của hàm số sau: f(x) = \begin{cases} 9x + \dfrac{|x|}{x} & when \ x \ne 0\\ 1 & when \ x = 0\end{cases} tại x_0 = 0.

Bài 3. a. Chứng minh rằng phương trình x^3 + x -1 =0 luôn có nghiệm trên \mathbb{R}. Hãy chỉ ra một khoảng chứa nghiệm đó.

b. Phương trình x^3 + x + 1 =0 có nghiệm trên \mathbb{R} hay không?

c. Chứng minh rằng phương trình (x^2+1)\cos x + 3x\sin x + 2 = 0 có nghiệm thuộc khoảng (0;\pi).

Bài tập về đường thẳng song song với mặt phẳng

ĐN: Một đường thẳng và một mặt phẳng được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.

Tính chất:

  • Nếu một đường thẳng d không nằm trên mặt phẳng (\alpha) và song song với một đường thẳng a nào đó nằm trong (\alpha) thì đường thẳng d song song với mặt phẳng (\alpha).
  • Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (Q). Nếu mặt phẳng (P) đi qua a và cắt mặt phẳng (Q) thì giao tuyến của (P) và (Q) song song với a.
  • Nếu 2 mặt phẳng cắt nhau và cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng song song với đường thẳng đó.

Lưu ý các tính chất trên, các em vẽ cụ thể hình ra để hình dung.

Bài tập:

Bài 1. Cho tứ diện ABCD, G là trọng tâm tam giác ABD , M thuộc BC sao cho: MB = 2MC.CMR: GM // (ACD).

Bài 2. Cho 2 hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng.

a.    Gọi O và O’ là tâm của ABCD và ABEF. CMR: OO’ // (ADF) và OO’ // (BCE).

b.    Gọi M, N là 2 điểm lần lượt trên AE, BD sao cho: AE=3AM, BD=3BN. CMR: MN // (CDEF).

Bài 3. Cho hình chóp SABCD. M, N là 2 điểm trên AB, CD. (\alpha) là mặt phẳng qua MN và song song SA.

a.    Tìm các giao tuyến của (\alpha) với (SAB) và (SAC).
b.    Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (\alpha).
Bài 4.    Cho hình chóp SABCD. M, N là 2 điểm trên SB và CD. (P) là mặt phẳng qua MN và song song SC.
a. Tìm các giao tuyến của (P) với (SBC), (SCD) và (SAC).
b. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P).


Nu mt ®­ng th¼ng d kh«ng n»m trªn mỈt ph¼ng () vµ song song víi mt ®­ng th¼ng a nµo ® n»m trong () th× ®­ng th¼ng d song song víi mỈt ph¼ng ().

Chứng minh rằng: $latex (4m)!$ chia hết cho $latex 24^m$.

Chứng minh rằng:  (4m)! chia hết cho 24^m.

Lời giải.

Ta chứng minh bằng quy nạp.

Với m=14! =24 chia hết cho 24, nên khẳng định đúng.

Giả sử khẳng định đúng với m=k, k\ge 1, tức là (4k)! chia hết cho 24^k.

Ta cần chứng minh (4(k+1))! chia hết cho 24^{k+1}.

Thật vậy, do (4(k+1))! =(4k)!.(4k+1).(4k+2).(4k+3).(4k+4) nên theo giả thiết quy nạp ta cần chứng minh

(4k+1).(4k+2).(4k+3).(4k+4) chia hết cho 24.

Đây là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp nên luôn chia hết cho 4! =24.

Cách khác:

Xét tập A={1,2,3,....,4m}

Số các số chia hết cho 4 trong Am(1)

Số các số chia hết cho 2 trong A2m

\Rightarrow Số các số chia hết cho 2 mà không chia hết cho 4 trong A là: 2m-m=m (2)

Từ (1),(2) suy ra (4m)! chia hết cho 4^m.2^m (a)

Số các số chia hết cho 3 trong A là: [\frac{4m}{3}]\geq m \Rightarrow (4m)! chia hết cho 3^m (b)

Kết hợp a,b ta có đpcm.

Theo: http://math.vn

Problem of division boy and girl set

TST Lam Dong 2010

Make n boys and n girls a line. Divide the line by two parts such that number of boys and number of girls are equivalent. Let A be number of cases which cannot divide, let B be number of cases which can divide by one way. Prove that B = 2A.

Solution. One way division the line is choosing k boys and k girls. The line has two part, left part and right part. And two ways division are equivalent if their left part has same of number boys and girls.

With the only way division, (suppose k boys and k girls in left part), we change a boy in left part with a girl in right part then we attain a impossible way. And we change a girl in left part with a boy in right part then we attain a impossible way too.

So we have correspondence of one-one: the one way division and two impossible way division, this implies B = 2A. QEA

Bài tập về khử dạng vô định

Khi tính giới hạn hàm số, ta sẽ gặp những bài toán có dạng \infty - \infty, \dfrac{\infty}{\infty}, \dfrac{0}{0}, 0.\infty, 1^{\infty}. Đó là các dạng vô định. Để làm các kiểu bài tập này, các em phải biết cách khử chúng.

Yêu cầu: Nắm vững phần giới hạn hàm số, giới hạn một phía + các hằng đẳng thức.

Bài 1.

  1. \underset{x\to 1}{\lim}\dfrac{-2{{x}^{2}}+x+1}{{{x}^{2}}-4x+3}.
  2. \underset{x\to 2}{\lim}\dfrac{\sqrt{2x-1}-\sqrt{x+1}}{{{x}^{2}}-3x+2}.
  3. \underset{x\to 0}{\lim }\dfrac{\sqrt[3]{1+x}-\sqrt[3]{1-x}}{x}.
  4. \underset{x\to 1}{\lim }\dfrac{\sqrt[3]{x+7}-\sqrt{x+3}}{{{x}^{2}}-3x+2}.

Bài 2.

  1. \underset{x\to 2}{\lim }\dfrac{\sqrt{x+7}-3}{{{x}^{2}}-4}.
  2. \underset{x\to -1}{ \lim }\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}+3}-2}{\sqrt[3]{x}+1}.
  3. \underset{x\to -\infty }{\lim }\dfrac{\sqrt{{{x}^{2}}+2x+3}+2x}{\sqrt{4{{x}^{2}}+2}-x+1}.

Một số dạng vô định có chứa lượng giác, ta chú ý giới hạn sau:

\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1.

Bài 3.

  1. \lim\limits_{x \to o}\dfrac{1 - \cos x}{x^2}.
  2. \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sin 2x}{\sin 5x}.
  3. \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\sqrt{1+x^2} - \cos x}{x^2}.

Bổ sung thêm về bài tập giới hạn dãy số

Các em lưu ý khi tính giới hạn dãy số. Điều cốt lõi là phải khử những lượng có khả năng tiến ra \infty.

Chú ý: Nếu nhân lượng liên hợp thì dùng các hằng đẳng thức:

a - b = (\sqrt a - \sqrt b)(\sqrt a + \sqrt b), a - b = (\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}).

Một định lý khá quan trọng:

Nếu |u_n| \le v_n\lim v_n = 0 thì \lim u_n = 0.

Chẳng hạn: \lim \dfrac{\cos 2n}{n^2} = ?.

Ta có: |\dfrac{\cos 2n}{n^2}| \le \dfrac{1}{n^2} và vì \lim \dfrac{1}{n^2} = 0 nên theo định lý trên thì: \dfrac{\cos 2n}{n^2} = 0.

Các em có thể xem một số ví dụ qua link sau:

http://www.thaygiaolang.com/forums/showthread.php?t=231

BÀI TẬP:

Bài 1. Tính các giới hạn:

a. \lim\dfrac{n^4}{(n+1)(2+n)(n^2 + 1)}.

b. \lim\dfrac{\sqrt{n^2+1} - 3n - 1}{-6n - \sqrt{n} + 1}.

c. \lim\dfrac{(3n -1 )(n^2 + 2)(-3n^3 - 1)}{(2n^2+1)^3}.

d. \lim\dfrac{n.\sqrt{1 + 3 + 5 + \dots + (2n+1)}}{3n^2 - n +1}.

e. \lim\dfrac{4^{n+1} + 7^{n+2}}{6^n + 9^n}.

Bài 2. Tính:

a. \lim\dfrac{1 - 2.3^n + 6^n}{2^n(3^{n+1} - 5)},

b. \lim\dfrac{1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{2^n}}{1 + \frac{3}{4} + \dots + (\frac{3}{4})^n},

c. \lim\dfrac{1 + 2 + 2^2 + \dots + 2^n}{1 + 3 + 3^2 + \dots + 3^n},

Bài 3. Tính:

a. \lim\dfrac{2\sin{n^2}}{n^2 + 3},

b. \lim{\sqrt{n^2 - n} - n},

c. \lim{\sqrt{n^2 + n} - \sqrt{n^2 + 1}},

d. \lim{\sqrt{n}(\sqrt{n+3} - \sqrt{n+1})},

e. \lim{\sqrt{n^2 + n + 2} - \sqrt{n+1}},