cơ sở – Mathematics

Vài lưu ý cho các em: Khi học phần này, chú ý một số ví dụ sau:

1, $span\{\emptyset\} = \left \{ \theta \right \}$ .

2, Tổ hợp tuyến tính của một vec-tơ là một số nhân với một vec tơ đó.

3, Nếu $v \in \mathbb{R}^n$ thì nói một cách hình học, $span\{v\}$ chính là một đường thẳng nằm trong $\mathbb{R}^n$ .

4, Giả sử $n \ge 2$ và $v_1, v_2 \in \mathbb{R}^n$ là các vec tơ độc lập tuyến tính thì, nếu nói theo hình học, $span\{v_1, v_2\}$ chính là một mặt phẳng nằm trong $\mathbb{R}^n$ .

5, Một đa thức $p(x) \in \mathbb{R}[x]$ bậc nhỏ hơn hoặc bằng 2 chính là tổ hợp tuyến tính của $1, x, x^2$ , tuy nhiên nó cũng được sinh bởi $1, 1+x$ và $1 + x^2$ . Do vậy $span\{1,x,x^2\}=span\{1, 1+ x, 1 + x^2 \}$ .

Bài tập.

Cho không gian vec tơ $V = \mathbb{R}^3$ và tập $W = \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3|\ x + y + z = 0\} \subset \mathbb{R}^3$ . Chứng minh rằng $W$ là một không gian vec tơ con và tìm cơ sở.

Bg. Dễ chứng minh $W$ là không gian con của $\mathbb{R}^3$ bằng cách thử sự ổn định của hai phép toán.

Ta tìm cơ sở của $W$ : Ta có $u \in W$ thì $u = (x, y, z)$ thỏa mãn $x + y + z = 0$ , từ đó $u = (x, y, -x - y)$ . Phân tích: $u = (x, y, -x - y) = (x, 0, -x) + (0, y, -y) = x(1, 0, -1) + y(0, 1, -1)$ . Từ đó $W = Span\{(1,0,-1),(0,1,-1)\}$ .