Một số chú ý của phần độc lập tuyến tính, hệ sinh

Vài lưu ý cho các em: Khi học phần này, chú ý một số ví dụ sau:

1, span\{\emptyset\} = \left \{ \theta \right \}.

2, Tổ hợp tuyến tính của một vec-tơ là một số nhân với một vec tơ đó.

3, Nếu v \in \mathbb{R}^n thì nói một cách hình học, span\{v\} chính là một đường thẳng nằm trong \mathbb{R}^n.

4, Giả sử n \ge 2v_1, v_2 \in \mathbb{R}^n là các vec tơ độc lập tuyến tính thì,  nếu nói theo hình học, span\{v_1, v_2\} chính là một mặt phẳng nằm trong \mathbb{R}^n.

5, Một đa thức p(x) \in \mathbb{R}[x] bậc nhỏ hơn hoặc bằng 2 chính là tổ hợp tuyến tính của 1, x, x^2, tuy nhiên nó cũng được sinh bởi 1, 1+x1 + x^2. Do vậy span\{1,x,x^2\}=span\{1, 1+ x, 1 + x^2 \}.

Advertisements

Bài tập về không gian con – 1

Bài tập. 

Cho không gian vec tơ V = \mathbb{R}^3 và tập W = \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3|\ x + y + z = 0\} \subset \mathbb{R}^3. Chứng minh rằng W là một không gian vec tơ con và tìm cơ sở.

Bg. Dễ chứng minh W là không gian con của \mathbb{R}^3 bằng cách thử sự ổn định của hai phép toán.

Ta tìm cơ sở của W: Ta có u \in W thì u = (x, y, z) thỏa mãn x + y + z = 0, từ đó u = (x, y, -x - y). Phân tích: u = (x, y, -x - y) = (x, 0, -x) + (0, y, -y) = x(1, 0, -1) + y(0, 1, -1). Từ đó W = Span\{(1,0,-1),(0,1,-1)\}.

Trong \mathbb{R}^3, hai vec tơ (1, 0, -1)(0, 1, -1) không tỉ lệ với nhau, do đó chúng độc lập tuyến tính.

Vậy \{(1,0,-1),(0,1,-1)\} là một cơ sở của W