Số học – Mathematics

Chứng minh rằng: $(4m)!$ chia hết cho $24^m$ .

Lời giải.

Ta chứng minh bằng quy nạp.

Với $m=1$ có $4! =24$ chia hết cho $24$ , nên khẳng định đúng.

Giả sử khẳng định đúng với $m=k, k\ge 1$ , tức là $(4k)!$ chia hết cho $24^k$ .

Ta cần chứng minh $(4(k+1))!$ chia hết cho $24^{k+1}$ .

Thật vậy, do $(4(k+1))! =(4k)!.(4k+1).(4k+2).(4k+3).(4k+4)$ nên theo giả thiết quy nạp ta cần chứng minh

$(4k+1).(4k+2).(4k+3).(4k+4)$ chia hết cho $24$ .

Đây là tích của $4$ số tự nhiên liên tiếp nên luôn chia hết cho $4! =24$ .

Cách khác:

Xét tập $A=$ { $1,2,3,....,4m$ }

Số các số chia hết cho $4$ trong $A$ là $m(1)$

Số các số chia hết cho $2$ trong $A$ là $2m$

$\Rightarrow$ Số các số chia hết cho $2$ mà không chia hết cho $4$ trong $A$ là: $2m-m=m (2)$

Từ $(1),(2)$ suy ra $(4m)!$ chia hết cho $4^m.2^m (a)$

Số các số chia hết cho $3$ trong $A$ là: $[\frac{4m}{3}]\geq m \Rightarrow (4m)!$ chia hết cho $3^m (b)$

Kết hợp $a,b$ ta có đpcm.

Mathematics