Về một bài toán trong kỳ thi lần 2 (2016-2017), môn Đại số

Bài toán trong kỳ thi lại như sau:

Câu 3. Cho {W_1 = \{(x,y,0) | x,y \in \mathbb{R}\}}, {W_2} là không gian vec tơ con của {\mathbb{R}^3} sinh bởi hai vec tơ {(1,2,3)}{(1,-1,1)}.

  1. Tìm điều kiện {x, y, z} để {u = (x,y,z) \in W_2}.
  2. Tìm {W_1 + W_2}.
  3. Tìm {W_1 \cap W_2}.

Hầu hết các em chỉ làm được ý 3 và làm sai hai ý còn lại. Ý 1 nhiều em đưa ra được hệ phương trình nhưng lại lúng túng.

1. có thể giải đơn giản như sau: {u = (x,y,z) \in W_2} nếu và chỉ nếu tồn tại {a, b} sao cho {(x,y,z) = a(1,2,3) + b(1,-1,1)}. Điều này tương đương với hệ sau có nghiệm {a, b}:

\displaystyle \begin{cases} a+b &=x\\ 2a-b&=y\\ 3a+b&=z \end{cases}.

Đến đây các em có thể dùng hạng ma trận để đưa ra liên hệ giữa {x, y, z} hoặc có thể xử lý trực tiếp hệ:

Từ hai pt đầu có {3a = x+y}, pt thứ 3 có {3a = z - b} do đó: {x+y = z - b}, mặt khác {b= 2x-y/3} nên {x + y = z - 2x/3 + y/3} và kéo theo {5x + 2y - 3z = 0}, đó chính là điều kiện cần tìm.

2. Dựa vào ý 1, dự đoán rồi chứng minh \mathbb{R}^3 = W_1 + W_2. Tại sao dự đoán như này? Vì quan sát cơ sở của hai không gian con W_1, W_2, hợp của hai cơ sở này có đến 3 vec tơ độc lập tuyến tính.

Có thể phân tích (x,y,z) = (x-3z/5,y, 0) + (3z/5, 0 ,z).

Sylvester’s Problem, Gallai’s Solution

(Để tạm đây)

Source: http://www.cut-the-knot.org/proofs/SylvesterGallai.shtml

The Sylvester Problem has been posed by James Joseph Sylvester in 1893 in Educational Times:

Let n given points have the property that the line joining any two of them passes through a third point of the set. Must the n points all lie on one line?

T. Gallai’s proof has been outlined by P. Erdös in his submission of the problem to The American Mathematical Monthly in 1943.

Solution

Given the set Π of noncollinear points, consider the set of lines Σ that pass through at least two points of Π. Such lines are said to be connecting. Among the connecting lines, those that pass through exactly two points of Π are called ordinary.

Choose any point p1Π. If p1 lies on an ordinary line we are done, so we may assume that p1 lies on no ordinary line. Project p1 to infinity and consider the set of connecting lines containing p1. These lines are all parallel to each other, and each contains p1 and at least two other points of Π. Any connecting line not through p1 forms an angle with the parallel lines; let s be a connecting line (not through p1) which forms the smallest such angle:

Gallai's proof of Sylvester's problem, part 1

Then s must be ordinary! For suppose s were to contain three (or more) points of Π, say, p2, p3, p4 named so that p3 is between p2 and p4:

Gallai's proof of Sylvester's problem, part 2

The connecting line through p3 and p1 (being not ordinary) would contain a third point of Π, say p5, and now either the line p2p5 or the line p4p5 would form a smaller angle with the parallel lines than does s.

References

  1. P. Borwein, W. O. J. Moser, A survey of Sylvester’s problem and its generalizations, Aequationes Mathematicae 40 (1990) 111 – 135
  2. P. Erdös, R. Steinberg, Problem 4065 [1943, 65], The American Mathematical Monthly, Vol. 51, No. 3 (Mar., 1944), pp. 169-171
  3. J. J. Sylvester, Educational Times, Mathematical Question 11851, vol. 59 (1893), p. 98

Bảng điểm thành phần các lớp Đại số, kì 1, 2016

Thầy up bảng điểm thành phần các lớp. Các lớp trưởng lưu ý nhắc các bạn xem.

Nếu ai có thắc mắc gì thì hãy gửi về mail: hpdung83@gmail.com, thời hạn: Hết 24h, ngày 05/01/2016. Sau thời hạn đó, thầy sẽ gửi bảng điểm và mọi thắc mắc không còn hiệu lực nữa. File bảng điểm có 4 tab tương ứng với các lớp.

Đây là link file bảng điểm thành phần: diem-thanh-phan-dai-so-nhom-1-6-9-16

Chúc các em ôn thi tốt.

D.

Hết thời hạn gửi thắc mắc.

Bảng điểm đã update một số trường hợp – 04/1: diem-thanh-phan-dai-so-nhom-1-6-9-16-updated-4-1

A property of span of S

As we know, {S} is a nonempty subset of a vector space {V}, then the set {W} consisting of all linear combinations of elements of {S} is a subspace of {V}.

The subspace {W} described in above fact is called the span of {S} {or the subspace generated by the elements of {S}).

We have the following theorem in the book ‘Linear algebra’ of Friedberg et al.

Theorem 1 Let {S} be a linearly independent subset of a vector space {V}, and let {v} be an element of {V} that is not in {S}. Then {S \cup \{v\}} is linearly dependent if and only if { v \in span(S)}.

Bảng điểm thành phần các lớp Toán cao cấp 2 – D15 khối Kinh tế

Dear all,

Thầy tổng kết điểm dựa trên nguyên tắc sau:

  • Nếu nhóm kiểm tra nào chia đều điểm: trừ điểm cả nhóm.
  • Nếu nhóm nào chia điểm sai: Trừ điểm nhóm trưởng.
  • Điểm chuyên cần: Vắng 1 buổi trừ 2 điểm.
  • Điểm dấu cộng – trừ: + thì cộng 2, – thì trừ 2.
  • Được 5 dấu + thì full 10 3 cột (tuỳ theo chất lượng bài tập lớn, nếu tốt).

File Điểm chuyên cần và kiểm tra (chưa tính dấu +) các lớp Toán cao cấp 2: Diem-thanh-phan-TCC2-chuacong

Chú ý: Bảng điểm sẽ được update

1, Lớp số 7 (Đặng Thái Sơn lớp trưởng): <– Hôm qua nhầm tên Hải Dương.

Trừ điểm kiểm tra của:

  • Nhóm Dương Thị Hiền vì chia đều điểm.
  • Nhóm Tăng thị Ngọc Mai: chia điểm sai (nhiều hơn số đã có).

2, Lớp số 3 (Nguyễn Mai Linh lt):

  • Trừ Nhóm Tố Uyên: chia điểm sai.
  • Lưu ý: Nhóm Đỗ Thị Hương: nhóm này chia điểm Phí Phương Anh: 0 –> bạn này sẽ không được thi.

3, Lớp số 4 (Nguyễn Thu Hoà lt):

  • Nhóm này có 3 bạn Nguyễn Thị Huyền nhưng có 2 bạn ko ghi cụ thể là lớp nào (trừ Ng Thị Huyền PT01), báo lại sớm ở comment dưới bài này là các em ở nhóm nào để thầy vào điểm kiểm tra nhé.

Các em có thắc mắc gì thì comment ngay tại đây. Ở dưới.

UPDATE 1:

UPDATE 2: 

  • Điểm bài tập lớn các lớp số 1 (LT: Lê Thị Hoà), lớp số 8 (LT: Hải Dương). Chú ý: Đây là toàn bộ điểm thành phần chưa cộng và chưa trừ:

Link tải file: Diem-thanh-phan-TCC2-updating-2

UPDATE FULL: 03/6/16

  • Nhóm 4 (LT: Nguyễn Thu Hoà): Bạn Tạ Duy Đông và Nguyễn Ngọc Tiến không có bài tập lớn??  –> không đc thi. Các em ở nhóm bài tập nào?
  • Nhóm 3 (LT: Nguyễn Mai Linh): Bạn Lê Huy Hoàng ko có BTL –> Báo lại xem ở nhóm nào?
  • Bảng điểm full, đã cộng và trừ, thưởng: Diem-thanh-phan-TCC2-full

Các bạn chú ý: HẾT thời gian thắc mắc điểm rồi nhé. Điểm thầy đã tổng kết và nộp rồi.