regular surfaces – Mathematics

BT. Cho hàm $f(x,y,z)=z^{2}$ . CMR $0$ không là giá trị chính qui của hàm $f$ thế nhưng $f^{-1}(0)$ vẫn là mặt chính qui.

Lời giải.

Ta có ma trận $(f_x \ f_y \ f_z) = (0 \ 0 \ 2z)$ suy biến tức $rankA < 1$ khi và chỉ khi $z=0$ , do đó tại điểm $(x, y, 0), \forall x, y \in \mathbb{R}$ , ma trận trên suy biến và do đó là điểm kì dị. Mà $f(x,y,0)=0$ nên $0$ là giá trị tới hạn, hay ko phải giá trị chính qui. Nhưng $f^{-1}(0)$ là mặt phẳng Oxy, đây là mặt trơn nên chính qui.