Tag: mapping

Posted in Linear Algebra

Ảnh và nghịch ảnh của ánh xạ

Posted on by hpdung

Trong phần này, ta đề cập đến khái niệm ảnh và nghịch ảnh của một ánh xạ f: X \to Y.

Ảnh: Với mỗi tập con A của X, ta gọi tập hợp f(A):=\left\{ y|y=f(x),x\in A \right\} gọi là ảnh của A (qua f).

Ví dụ:

  1. Giả sử A=\left\{ (0,a),a\in \mathbb{R} \right\} và f:{{\mathbb{R}}^{2}}\to \mathbb{R} là ánh xạ f(x,y)=y;\forall x,y\in \mathbb{R}. Khi đó  f(A)=\left\{ a|\forall a\in \mathbb{R} \right\} hay f(A)=\mathbb{R}.
  2. Cũng với tập A như trên mà g:{{\mathbb{R}}^{2}}\to \mathbb{R} là ánh xạ g(x,y)=x;\forall x,y\in \mathbb{R}. Khi đó g(A)=\left\{ 0 \right\}.

Nghịch ảnh (tạo ảnh): Với mỗi tập con B của Y, ta gọi tập hợp {f}^{-1}(B):=\left\{ x\in A|f(x)\in B \right\} trong đó A là một tập con nào đó của X, là tập nghịch ảnh (hay tạo ảnh) của B. Nếu B chỉ gồm một phần tử y thì ta dùng kí hiệu f^{-1}(y) và các phần tử thuộc tập này được gọi là nghịch ảnh của y.

Chú ý: Tập B luôn có A là tập nghịch ảnh. Nhưng một phần tử nào đó của B có thể không có tập nghịch ảnh nào.

Ví dụ:

  1. Với f:{{\mathbb{R}}^{2}}\to \mathbb{R}, f(x,y)=x,\forall x,y\in \mathbb{R}, mọi phần tử a\in \mathbb{R} đều có rất nhiều nghịch ảnh trong {{\mathbb{R}}^{2}}.
  2. Với f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}, f(x)={{x}^{2}}, thì mỗi phần tử a\in \mathbb{R}sẽ có tập nghịch ảnh tương ứng như sau:
  • Nếu a<0 thì {{f}^{-1}}(a)=\varnothing . Mọi phần tử âm đều không có tập nghịch ảnh nào.
  • Nếu a=0 thì {{f}^{-1}}(0)=\left\{ 0 \right\}.
  • Nếu a>0 thì {{f}^{-1}}(a)=\left\{ -\sqrt{a},\sqrt{a} \right\}.

3. Với f:{{\mathbb{R}}^{2}}\to {{\mathbb{R}}^{2}}, f(x,y)=(y,x);\forall x,y\in \mathbb{R} thì mọi phần tử (b,a)\in {{\mathbb{R}}^{2}} đều có nghịch ảnh là phần tử (a,b)\in {{\mathbb{R}}^{2}}.