## Math 216: Foundations of algebraic geometry 2007-08 of Prof. Ravi Vakil

Here is the materials of Prof. Vakil ‘s course on Foundations of Algebraic Geometry 07-08 in Stanford University:

http://math.stanford.edu/~vakil/0708-216/

## Môn Toán kỹ thuật ở MIT

Đây là các phần Toán kỹ thuật được dạy ở Massachusetts Institute of Technology (Học viện Công nghệ Massachusetts).

## Course Textbook

Kreyszig, Erwin. Advanced Engineering Mathematics. 8th ed. New York, NY: J.W. Wiley & Sons, 1999. ISBN: 9780471333753.

# Mathematics for Materials Scientists and Engineers

Parabolic approximation to a surface and local eigenframe. The surface on the left is a second-­order approximation of a surface at the point where the coordinate axes are drawn. The surface has a local normal at that point which is related to the cross product of the two tangents of the coordinate curves that cross at the that point. The three directions define a coordinate system. The coordinate system can be translated so that the origin lies at the point where the surface is expanded and rotated so that the normal n coincides with the z-axis as in the right hand curve. (Image by Prof. W. Craig Carter.)

### Instructor(s)

Prof. W. Craig Carter

3.016

Fall 2005

CITE THIS COURSE

## Course Description

This course covers the mathematical techniques necessary for understanding of materials science and engineering topics such as energetics, materials structure and symmetry, materials response to applied fields, mechanics and physics of solids and soft materials. The class uses examples from the materials science and engineering core courses (3.012 and 3.014) to introduce mathematical concepts and materials-related problem solving skills. Topics include linear algebra and orthonormal basis, eigenvalues and eigenvectors, quadratic forms, tensor operations, symmetry operations, calculus of several variables, introduction to complex analysis, ordinary and partial differential equations, theory of distributions, and fourier analysis.

Users may find additional or updated materials at Professor Carter’s 3.016 course Web site.

## Bài giảng Toán kỹ thuật của thầy Lê Bá Long

Dear all,

Hiện nay các em đang dùng nhiều giáo trình và bài giảng khác nhau của môn Toán kỹ thuật. Do đó thầy đưa link thư viện lên đây để ta thống nhất dùng Bài giảng của PGS Lê Bá Long, theo version này nhé.

http://dlib.ptit.edu.vn/handle/123456789/1277

Best,

D.

## Bảng điểm thành phần Toán cao cấp 2

Thầy up bảng điểm thành phần các nhóm 1 – 2 – 3 – 6. Các lớp trưởng lưu ý nhắc các bạn xem.

HẾT thời hạn thắc mắc.

Cách cộng, trừ:

• Vắng 1 buổi trừ 2 điểm chuyên cần.
• Điểm kiểm tra lấy cho hai cột: thứ hai và thứ ba.
• Một dấu cộng $+2$ vào cột kiểm tra, cộng full cột 2 thì cộng sang cột 3.
• Một dấu trừ $-2$ vào cột kiểm tra.
• Các lớp trưởng đều được cộng tương ứng với 1 hoặc 2 dấu cộng.

Nếu ai có thắc mắc gì thì hãy gửi về mail: hpdung83@gmail.com, thời hạn: Hết 24h, ngày 29/05/2016. Sau thời hạn đó, thầy sẽ gửi bảng điểm và mọi thắc mắc không còn hiệu lực nữa. File bảng điểm có 4 tab tương ứng với các lớp.

Đây là link file bảng điểm thành phần: Toan cao cap2-Nhom-1-2-3-6

Chúc các em thi tốt.

D.

## The \L ojasiewicz exponent at infinity

The \L ojasiewicz exponent at infinity

References: Paper of Krasinski, On the \L ojasiewicz exponent at infinity of polynomial mappings, Acta. Math. Vietnam. Vol. 32, No. 2-3, 2007.

Definition:

Let ${F = (F_1, \dots, F_m) : \mathbb{C}^n \rightarrow \mathbb{C}^m}$ be a polynomial mapping. The \L ojasiewicz exponent of ${F}$ at infinity is defined as the best exponent ${\nu}$ for which the following inequality holds

$\displaystyle |F(z)| \ge C|z|^\nu,$

for some constant ${C > 0}$ and sufficiently large ${|z|}$.

$\displaystyle \mathcal{L}_{\infty}(F) := \sup\{\nu \in \mathbb{R}| \exists C >0, R>0 : \forall z \in \mathbb{C}^n, |z| \ge R, |F(z)| \ge C|z|^\nu\}.$

Note that ${\mathcal{L}_{\infty}(F) \in \mathbb{R} \cup \{-\infty\}}$.

Definition

Let ${F = (F_1, \dots, F_m): \mathbb{C}^n \rightarrow \mathbb{C}^m}$ be a polynomial mapping and ${S \subset \mathbb{C}^n}$ be unbounded set. The \L ojasiewicz exponent of ${F}$ at infinity on ${S}$ is defined as the best exponent ${\nu}$ for which the following inequality holds

$\displaystyle |F(z)| \ge C|z|^\nu$

for some constant ${C > 0}$ and sufficiently large ${|z|}$ in ${S}$. This exponent is denoted by ${\mathcal{L}_{\infty}(F|S)}$:

$\displaystyle \mathcal{L}_{\infty}(F|S) :=\sup\{\nu \in \mathbb{R}| \exists C >0, R>0 : \forall z \in S, |z| \ge R, |F(z)| \ge C|z|^\nu\}.$

For example

${F(x,y) = (x, xy-1): \mathbb{C}^2 \rightarrow \mathbb{C}^2.}$

• We have ${\mathcal{L}_{\infty}(F) = -1}$.
• And ${\mathcal{L}_{\infty}(F|S) = 0}$ where ${S = \{y = 0\}}$.

\L ojasiewicz exponent has relationship with properness of mappings

Theorem 1 ${\mathcal{L}_{\infty}(F) > 0}$ if and only if ${F}$ is a proper mapping.

Remark 1 Recall the properness of map. ${F}$ is called proper mapping if ${F}$ sastisfies the following property: ${F^{-1}(K)}$ is a compact set if ${K}$ is a compact set. This fact is equivalent to ${|x| \rightarrow +\infty \Rightarrow |F(x)| \rightarrow +\infty}$.

## A = B+ I, B^2 = 0

Let ${A = \begin{pmatrix} a + 1& -a\\ a & -a + 1\\ \end{pmatrix}}$. What can we say about ${A}$?

Remark: ${A}$ has some interesting properties: ${A = B + I}$ where ${B^2 = O}$.

1. ${A^n = nB+I, n \in \mathbb{Z}}$.
Indeed, we can prove it by induction.
${A^2 = (B+I)(B+I) = B^2 + 2B + I = 2B+I}$, ${(B+I)(-B+I) = I \Rightarrow A^{-1} = -B + I, A^{-2} = (-B + I)(-B+I) = -2B+I\dots}$ Suppose that ${A^k = kB+I}$, we have ${A^{k+1} = (kB+ I)(B+I) = kB^2 + (k+1)B + I = (k+1)B + I}$. Moreover, suppose that ${A^{-k} = -B+I}$, we have ${A^{-k-1} = (-kB+I)(-B+I) = -(k+1)B + I}$.
2. ${A^{-1} = - B+I \Leftrightarrow B + I = - A^{-1} + 2I \Leftrightarrow A = -A^{-1} + 2I \Leftrightarrow A + A^{-1} = 2I}$.

## Về một bài toán trong kỳ thi lần 2 (2016-2017), môn Đại số

Bài toán trong kỳ thi lại như sau:

Câu 3. Cho ${W_1 = \{(x,y,0) | x,y \in \mathbb{R}\}}$, ${W_2}$ là không gian vec tơ con của ${\mathbb{R}^3}$ sinh bởi hai vec tơ ${(1,2,3)}$${(1,-1,1)}$.

1. Tìm điều kiện ${x, y, z}$ để ${u = (x,y,z) \in W_2}$.
2. Tìm ${W_1 + W_2}$.
3. Tìm ${W_1 \cap W_2}$.

Hầu hết các em chỉ làm được ý 3 và làm sai hai ý còn lại. Ý 1 nhiều em đưa ra được hệ phương trình nhưng lại lúng túng.

1. có thể giải đơn giản như sau: ${u = (x,y,z) \in W_2}$ nếu và chỉ nếu tồn tại ${a, b}$ sao cho ${(x,y,z) = a(1,2,3) + b(1,-1,1)}$. Điều này tương đương với hệ sau có nghiệm ${a, b}$:

$\displaystyle \begin{cases} a+b &=x\\ 2a-b&=y\\ 3a+b&=z \end{cases}.$

Đến đây các em có thể dùng hạng ma trận để đưa ra liên hệ giữa ${x, y, z}$ hoặc có thể xử lý trực tiếp hệ:

Từ hai pt đầu có ${3a = x+y}$, pt thứ 3 có ${3a = z - b}$ do đó: ${x+y = z - b}$, mặt khác ${b= 2x-y/3}$ nên ${x + y = z - 2x/3 + y/3}$ và kéo theo ${5x + 2y - 3z = 0}$, đó chính là điều kiện cần tìm.

2. Dựa vào ý 1, dự đoán rồi chứng minh $\mathbb{R}^3 = W_1 + W_2$. Tại sao dự đoán như này? Vì quan sát cơ sở của hai không gian con $W_1, W_2$, hợp của hai cơ sở này có đến 3 vec tơ độc lập tuyến tính.

Có thể phân tích $(x,y,z) = (x-3z/5,y, 0) + (3z/5, 0 ,z)$.