Bảng điểm thành phần Toán cao cấp 2

Thầy up bảng điểm thành phần các nhóm 1 – 2 – 3 – 6. Các lớp trưởng lưu ý nhắc các bạn xem.

HẾT thời hạn thắc mắc.

Cách cộng, trừ:

  • Vắng 1 buổi trừ 2 điểm chuyên cần.
  • Điểm kiểm tra lấy cho hai cột: thứ hai và thứ ba.
  • Một dấu cộng +2 vào cột kiểm tra, cộng full cột 2 thì cộng sang cột 3.
  • Một dấu trừ -2 vào cột kiểm tra.
  • Các lớp trưởng đều được cộng tương ứng với 1 hoặc 2 dấu cộng.

Nếu ai có thắc mắc gì thì hãy gửi về mail: hpdung83@gmail.com, thời hạn: Hết 24h, ngày 29/05/2016. Sau thời hạn đó, thầy sẽ gửi bảng điểm và mọi thắc mắc không còn hiệu lực nữa. File bảng điểm có 4 tab tương ứng với các lớp.

Đây là link file bảng điểm thành phần: Toan cao cap2-Nhom-1-2-3-6

Chúc các em thi tốt.

D.

The \L ojasiewicz exponent at infinity

The \L ojasiewicz exponent at infinity

References: Paper of Krasinski, On the \L ojasiewicz exponent at infinity of polynomial mappings, Acta. Math. Vietnam. Vol. 32, No. 2-3, 2007.

Definition:

Let {F = (F_1, \dots, F_m) : \mathbb{C}^n \rightarrow \mathbb{C}^m} be a polynomial mapping. The \L ojasiewicz exponent of {F} at infinity is defined as the best exponent {\nu} for which the following inequality holds

\displaystyle |F(z)| \ge C|z|^\nu,

for some constant {C > 0} and sufficiently large {|z|}.

\displaystyle \mathcal{L}_{\infty}(F) := \sup\{\nu \in \mathbb{R}| \exists C >0, R>0 : \forall z \in \mathbb{C}^n, |z| \ge R, |F(z)| \ge C|z|^\nu\}.

Note that {\mathcal{L}_{\infty}(F) \in \mathbb{R} \cup \{-\infty\}}.

Definition

Let {F = (F_1, \dots, F_m): \mathbb{C}^n \rightarrow \mathbb{C}^m} be a polynomial mapping and {S \subset \mathbb{C}^n} be unbounded set. The \L ojasiewicz exponent of {F} at infinity on {S} is defined as the best exponent {\nu} for which the following inequality holds

\displaystyle |F(z)| \ge C|z|^\nu

for some constant {C > 0} and sufficiently large {|z|} in {S}. This exponent is denoted by {\mathcal{L}_{\infty}(F|S)}:

\displaystyle \mathcal{L}_{\infty}(F|S) :=\sup\{\nu \in \mathbb{R}| \exists C >0, R>0 : \forall z \in S, |z| \ge R, |F(z)| \ge C|z|^\nu\}.

For example

{F(x,y) = (x, xy-1): \mathbb{C}^2 \rightarrow \mathbb{C}^2.}

  • We have {\mathcal{L}_{\infty}(F) = -1}.
  • And {\mathcal{L}_{\infty}(F|S) = 0} where {S = \{y = 0\}}.

\L ojasiewicz exponent has relationship with properness of mappings

Theorem 1 {\mathcal{L}_{\infty}(F) > 0} if and only if {F} is a proper mapping.

Remark 1 Recall the properness of map. {F} is called proper mapping if {F} sastisfies the following property: {F^{-1}(K)} is a compact set if {K} is a compact set. This fact is equivalent to {|x| \rightarrow +\infty \Rightarrow |F(x)| \rightarrow +\infty}.

Về một bài toán trong kỳ thi lần 2 (2016-2017), môn Đại số

Bài toán trong kỳ thi lại như sau:

Câu 3. Cho {W_1 = \{(x,y,0) | x,y \in \mathbb{R}\}}, {W_2} là không gian vec tơ con của {\mathbb{R}^3} sinh bởi hai vec tơ {(1,2,3)}{(1,-1,1)}.

  1. Tìm điều kiện {x, y, z} để {u = (x,y,z) \in W_2}.
  2. Tìm {W_1 + W_2}.
  3. Tìm {W_1 \cap W_2}.

Hầu hết các em chỉ làm được ý 3 và làm sai hai ý còn lại. Ý 1 nhiều em đưa ra được hệ phương trình nhưng lại lúng túng.

1. có thể giải đơn giản như sau: {u = (x,y,z) \in W_2} nếu và chỉ nếu tồn tại {a, b} sao cho {(x,y,z) = a(1,2,3) + b(1,-1,1)}. Điều này tương đương với hệ sau có nghiệm {a, b}:

\displaystyle \begin{cases} a+b &=x\\ 2a-b&=y\\ 3a+b&=z \end{cases}.

Đến đây các em có thể dùng hạng ma trận để đưa ra liên hệ giữa {x, y, z} hoặc có thể xử lý trực tiếp hệ:

Từ hai pt đầu có {3a = x+y}, pt thứ 3 có {3a = z - b} do đó: {x+y = z - b}, mặt khác {b= 2x-y/3} nên {x + y = z - 2x/3 + y/3} và kéo theo {5x + 2y - 3z = 0}, đó chính là điều kiện cần tìm.

2. Dựa vào ý 1, dự đoán rồi chứng minh \mathbb{R}^3 = W_1 + W_2. Tại sao dự đoán như này? Vì quan sát cơ sở của hai không gian con W_1, W_2, hợp của hai cơ sở này có đến 3 vec tơ độc lập tuyến tính.

Có thể phân tích (x,y,z) = (x-3z/5,y, 0) + (3z/5, 0 ,z).