Khai bút

Gọi là khai bút, thực ra là khai…phím ^_^. Tục khai bút đầu xuân đã có từ lâu đời. Nhà tôi cũng vậy, năm nào đến xuân từ thời cụ tôi cũng khai bút. Và đây là bài thơ mà cụ hay dùng, không rõ tác giả:

Khai bút.

Sang xuân cử bút khai,

Phú quý tự nhiên lai.

Gia đình đa hưng vượng,

Nhật nhật tống tam tai.

Nay tôi cũng dùng lại bài thơ trên. Sang năm mới chúc những người ghé thăm blog này một năm mới an lành, hạnh phúc.

Advertisements

Viện sĩ người Kazakhtan tiếp cận lời giải của bài toán thiên niên kỷ

Đó là giáo sư Otelbaev người Kazakhtan, ông đã đưa ra lời giải cho sự tồn tại các nghiệm dạng mạnh của các phương trình Navier-Stokes, một trong 7 bài toán của thiên niên kỷ do Viện nghiên cứu Clay đưa ra. Mỗi lời giải một trong các bài toán này sẽ được phần thưởng 1 triệu USD. Một bài đã được giải bởi Perelman.

Link: http://bnews.kz/en/news/post/180213/

A classical result of Kadec and Pelczynski

A question of member of Mathoverflow:

In this question the norm of L^{P}[0,1] is denoted by \|.\|_p.

Let p and q be two arbitrary real numbers with 2<p<q.

> Assume that S is  a subvector space of L^{p}[0, 1] \bigcap L^{q}[0, 1] such that the identity operator \text{Id.}: (S, \|.\|_p) \to (S, \|.\|_q) is a bounded operator.  Does this implies that S is  a finite dimensional space?

If I am note mistaken, this is proved for p=2, q=\infty, by Grothendieck.

The answer of Bill Johnson on MO:

In fact, Kadec and Pelczynski proved that   a subspace of L_p, $2<p<\infty$, is closed in L_r for some r<p if and only if the subspace is isomorphic to a Hilbert space.

Kadec, M. I.; Pełczyński, A. Bases, lacunary sequences and complemented subspaces in the spaces Lp. Studia Math. 21 1961/1962 161–176.

An example of scalar product

Let V be the space of continous real-valued functions on the interval [a,b]. If f, g \in V, we define

\langle f, g\rangle = \int\limits_a^b f(x)g(x)dx

It is easy to prove that this is a scalar product.

If V is the space of continous functions on the interval [-\pi, \pi]. Let f be the function given by f(x) = \sin{kx}, where k is some interger > 0. Then

\|f\| = \sqrt{\langle f, f \rangle} = \big( \int\limits_{-\pi}^\pi \sin^2{kx}\big)^{1/2} dx = \sqrt{\pi}.

If g if a continous function on [-\pi, \pi] then \langle g, f \rangle = \int\limits_{-\pi}^\pi g(x)\sin{kx} dx.

And Fourier coefficient of g with respect to f is \dfrac{\langle g, f \rangle}{\langle f, f \rangle} = \dfrac{1}{\pi}{\int\limits_{-\pi}^\pi g(x)\sin{kx} dx}.

References

[La] Lang. S. Linear Algebra, Springer, 2004.

Minimizing by Ekeland’s Variational Principle.

Minimizing by Ekeland’s Variational Principle.

Motivation of Ekeland’s paper “On the variational principle.” JMAA, 47. (1974). If f is a continous function on \mathbb{R}^n or Banach space X or complete Riemannian manifold \overline{M} and f has not minimum (of course f is bounded below) then we can choose a sequence (x_n) such that f(x_n) is “near” to the infimum of f.

We provide following Ekeland’s theorem with X is complete metric space

Theorem (Ekeland’s Variational Principle).  Let X be a complete metric space and F: X \to \mathbb{R} \cup \{+\infty\} a lower semi continous function, \ne +\infty, bounded from below. For every point u \in X satisfying \inf F \le F(u) \le \inf F + \epsilon and every \lambda > 0, there exists some point v \in X such that

F(v) \le F(u),

d(u,v) \le \lambda,

\forall w \ne v, F(w) > F(v) - (\epsilon/\lambda)d(v,w).

In part 5 of the paper, the author states an interesting result on complete Riemannian manifold

Proposition. Let F be a C^1 function on a complete Riemannian manifold \overline{M}. If F bounded from below, then, for every \epsilon \ge 0, there exists some point p_\epsilon \in \overline{M} such that

F(p_\epsilon) \le \inf F + \epsilon^2,

\|gradF(p_\epsilon)\|_{p_\epsilon} \le \epsilon.

Conclusion. p_\epsilon is the sequence of minimizer.

Đại số tuyến tính

Đại số tuyến tính là một nhánh của toán học nghiên cứu các hệ phương trình tuyến tính, ma trận, định thức, không gian vector và các ánh xạ (đồng cấu) tuyến tính giữa các không gian vector. Đây là một lĩnh vực rộng lớn và có ứng dụng vào rất nhiều ngành khác nhau của chính toán học và các khoa học cơ bản cùng với các khoa học ứng dụng khác.